Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или сложением/вычитанием уравнений. В данном случае, воспользуемся методом сложения/вычитания.
Добавим уравнения (2) и (3) вместе, чтобы избавиться от y:
(7x+y) + (7x-y) = 0 + 28
14x = 28
x = 28/14
x = 2
Теперь подставим найденное значение x в уравнение (2), чтобы найти значение y:
7(2) + y = 0
14 + y = 0
y = -14
Таким образом, первая вершина треугольника имеет координаты (2, -14).
Подставим найденные значения x и y в уравнение (1):
(2) + (-14) + 12 = 0
-12 + 12 = 0
Мы видим, что уравнение (1) также выполняется. Это означает, что вершина (2, -14) действительно находится на прямой x+y+12=0.
Теперь нам нужно найти две другие вершины треугольника. Для этого, произведем аналогичные шаги с уравнениями (2) и (3):
7x + y = 0 ---- (2)
7x - y + 28 = 0 ---- (3)
Так как y уже изолирована в уравнении (2), умножим уравнение (3) на (-1) и сложим его с уравнением (2):
7x + y + (-7x + y - 28) = 0 + (-1) * 28
2y - 28 = -28
2y = 0
y = 0
Теперь, подставим найденное значение y в уравнение (2):
7x + 0 = 0
7x = 0
x = 0
Таким образом, вторая вершина треугольника имеет координаты (0, 0).
Подставим найденные значения x и y в уравнение (3):
7(0) - y + 28 = 0
- y + 28 = 0
y = 28
Мы видим, что уравнение (3) также выполняется. Это означает, что вершина (0, 28) действительно находится на прямой 7x-y+28=0.
Таким образом, мы нашли все три вершины треугольника: (2, -14), (0, 0) и (0, 28).
Далее, чтобы найти центр c и радиус r вписанного в треугольник круга, мы можем воспользоваться формулой, которая гласит:
c = (x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3
где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) - координаты вершин треугольника.
Подставим значения вершин в формулу:
c = (2 + 0 + 0)/3, (-14 + 0 + 28)/3
c = (2 + 0 + 0)/3, 14/3
c = 2/3, 14/3
Таким образом, центр c круга имеет координаты (2/3, 14/3).
Чтобы найти радиус r вписанного круга, нам нужно найти расстояние от центра c к одной из вершин треугольника. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:
r = √((x - x1)^2 + (y - y1)^2)
где (x, y) - координаты центра c, а (x1, y1) - координаты одной из вершин треугольника.
Выберем вершину (2, -14) и подставим все значения в формулу:
x+y+12=0 ---- (1)
7x+y=0 ---- (2)
7x-y+28=0 ---- (3)
Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или сложением/вычитанием уравнений. В данном случае, воспользуемся методом сложения/вычитания.
Добавим уравнения (2) и (3) вместе, чтобы избавиться от y:
(7x+y) + (7x-y) = 0 + 28
14x = 28
x = 28/14
x = 2
Теперь подставим найденное значение x в уравнение (2), чтобы найти значение y:
7(2) + y = 0
14 + y = 0
y = -14
Таким образом, первая вершина треугольника имеет координаты (2, -14).
Подставим найденные значения x и y в уравнение (1):
(2) + (-14) + 12 = 0
-12 + 12 = 0
Мы видим, что уравнение (1) также выполняется. Это означает, что вершина (2, -14) действительно находится на прямой x+y+12=0.
Теперь нам нужно найти две другие вершины треугольника. Для этого, произведем аналогичные шаги с уравнениями (2) и (3):
7x + y = 0 ---- (2)
7x - y + 28 = 0 ---- (3)
Так как y уже изолирована в уравнении (2), умножим уравнение (3) на (-1) и сложим его с уравнением (2):
7x + y + (-7x + y - 28) = 0 + (-1) * 28
2y - 28 = -28
2y = 0
y = 0
Теперь, подставим найденное значение y в уравнение (2):
7x + 0 = 0
7x = 0
x = 0
Таким образом, вторая вершина треугольника имеет координаты (0, 0).
Подставим найденные значения x и y в уравнение (3):
7(0) - y + 28 = 0
- y + 28 = 0
y = 28
Мы видим, что уравнение (3) также выполняется. Это означает, что вершина (0, 28) действительно находится на прямой 7x-y+28=0.
Таким образом, мы нашли все три вершины треугольника: (2, -14), (0, 0) и (0, 28).
Далее, чтобы найти центр c и радиус r вписанного в треугольник круга, мы можем воспользоваться формулой, которая гласит:
c = (x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3
где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) - координаты вершин треугольника.
Подставим значения вершин в формулу:
c = (2 + 0 + 0)/3, (-14 + 0 + 28)/3
c = (2 + 0 + 0)/3, 14/3
c = 2/3, 14/3
Таким образом, центр c круга имеет координаты (2/3, 14/3).
Чтобы найти радиус r вписанного круга, нам нужно найти расстояние от центра c к одной из вершин треугольника. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:
r = √((x - x1)^2 + (y - y1)^2)
где (x, y) - координаты центра c, а (x1, y1) - координаты одной из вершин треугольника.
Выберем вершину (2, -14) и подставим все значения в формулу:
r = √((2/3 - 2)^2 + (14/3 - (-14))^2)
= √((-4/3)^2 + (56/3)^2)
= √((16/9) + (3136/9))
= √((3152/9))
= √(350.22)
≈ 18.7
Таким образом, центр c круга имеет координаты (2/3, 14/3), а радиус r примерно равен 18.7.