Пусть OO₁ = x (см. чертеж)
Из ΔOO₁B, используя теорему Пифагора, получаем:
O₁B² = 1 - x² (O₁B - радиус основания конуса)
SO₁ = 1 + x - высота конуса
Объем конуса вычисляется по формуле:
V = ⅓·πr²h, где r - радиус основания конуса, h - его высота
В нашем случае:
V(x) = ⅓·π·(1 - x²)(1 + x)
Исследуем на экстремум функцию f(x) = (1 - x²)(1 + x) = -x³ - x² + x + 1
f'(x) = -3x² - 2x + 1 = 0; Нули производной: -1; ⅓, причем x = ⅓ - максимум!
Таким образом для x>0 f(x) принимает наибольшее значение при x = ⅓, а значит и V(x) принимает наибольшее значение в этой же точке:
V(⅓) = ⅓·π·(1 - ⅑)(1 + ⅓) = 32/81 · π
Решение.
а) Пусть сечение пересекает плоскость верхнего основания по отрезку MN Так как основания параллельны, то прямая при этом М — середина значит, MN — средняя линия треугольника следовательно, N — середина
б) Построим сечение. Пусть Q и R — точки пересечения сечения с прямыми и соответственно. Тогда они лежат на прямой MN. Пусть теперь L и P — точки пересечения прямых AQ и CR (то есть сечения) с ребрами и соответственно. Таким образом, сечение — шестиугольник ALMNPC получаемый из прямоугольника AQRC отрезанием от него двух равных прямоугольных треугольников LMQ и NPR.
Так как основания призмы правильные шестиугольники со стороной