Они прямоугольные, т.к. в прямоугольнике все углы прямые и ∠А=∠D=90°. АВ=CD, т.к. в прямоугольнике противоположные стороны равны. ∠АВХ=∠YCD, т.к. ВХ и CY биссектрисы и делят прямые углы В и С пополам (∠СВХ=∠ХВА=∠BCY=∠YCD=45°).
Следовательно ΔАВХ=ΔCDY (по катету и прилежащему острому углу). Эти треугольники равнобедренные, т.к. углы при основании у них равны.
ГМТ, удалённых от заданной точки на заданное расстояние - это окружность с радиусом, равным заданному расстоянию. Координаты точки Х находим совместным решением уравнений таких окружностей. Поместим квадрат АВСД в прямоугольную систему координат точкой А в начало, стороной АД по оси Ох. Точка А (0; 0), точка С (1; 1). Уравнение окружности с центром в точке А: х² + у² = 5. Уравнение окружности с центром в точке С: (х - 1)² + (у - 1)² = 7.
Решаем систему: Раскроем скобки: Подставим вместо х² + у² число 5 и получим: -2х - 2у = 0 или у = - х. Это говорит о том, что точка Х лежит на прямой у = -х. Подставим это свойство в первое уравнение: х² + (-х)² = 5, 2х² = 5, х = +-√(5/2) ≈ +- 1,5811388. Тогда у = -+ 1,5811388. Имеем две точки, где может находиться точка Х: Х((-√(5/2)); √(5/2)) и Х₁((√(5/2)); -√(5/2)). Имеем и 2 расстояния от точки Х до точки В. Расстояние между точками. d = √((х2 - х1)² + (у2 - у1 )²). BХ = 1,684554, BХ1 = 3,026925.
Рисунок к задаче в прикрепленном файле.
Рассмотрим ΔАВХ и ΔDCY.
Они прямоугольные, т.к. в прямоугольнике все углы прямые и ∠А=∠D=90°. АВ=CD, т.к. в прямоугольнике противоположные стороны равны. ∠АВХ=∠YCD, т.к. ВХ и CY биссектрисы и делят прямые углы В и С пополам (∠СВХ=∠ХВА=∠BCY=∠YCD=45°).
Следовательно ΔАВХ=ΔCDY (по катету и прилежащему острому углу). Эти треугольники равнобедренные, т.к. углы при основании у них равны.
АВ=АХ=YD=DC=6 (см).
АХ+YD=6+6=12 (см).
ВС=АD=11 см.
YX=АХ+YD-ВС=12-11=1 (см).
ответ: YX=1 см.