Рисунок - во вложении.
Т.к. E и F - внутренние точки отрезка АВ, и по условию АЕ=BF, то
для EB=AB-AE и для AF=AB-BF следует, что EB=AF.
Рассмотрим прямоугольные ΔADF и ΔВСЕ. У них: 1) АD=BC (противолежащие стороны прямоугольника); 2) AF=EB (по доказанному выше). Значит, ΔADF = ΔВСЕ по двум катетам.
Из равенства этих треугольников следует, что ∠DFA=∠СЕВ. Отсюда, ΔEGF - равнобедренный с основанием EF, тогда GF=GE. Доказан пункт Б).
Т.к. АВСD - прямоугольник, то АВ║CD. Тогда ∠EFG=∠GDC(как накрестлежащие при секущей FD) и ∠FEG=∠GCD (как накрестлежащие при секущей ЕС). Отсюда, ΔDGС - равнобедренный с основанием DC, тогда DG=GC. Доказан пункт A).
Объяснение:
1. В прямоугольных треугольниках Δ ADN и Δ DFC ∠A = ∠ C по свойству параллелограмма. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку. На основе пропорциональности длин сходственных сторон имеем пропорцию:
AD/DC = DN/DF/
DF = 3.5*4/5 = 2.8
2. В треугольниках CFM и CAB ∠F = ∠ A, ∠ M = ∠ B как соответственные при FM║AB. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.
AC/CF = AB / FM
FM = 18*30/(18+27) = 12
AC/CF = CB/CM
CB = 45*15/18=37.5
ВМ = СВ - СМ = 37.5 - 15 = 22,5
3. В треугольниках АВС и ВСD ∠ C общий, ∠В = ∠D по условию задачи ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.
АВ/AС = BD / BC
AC = 9*15.6/12 = 11.7
4. В прямоугольных треугольниках АВС и АМF ∠А общий. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.
АС/ВС = AF/MF
АС = 24*9/12 = 18
АВ/ВС = АМ/MF.
AM найдем по теореме Пифагора = √(9²+12²) = 15
АВ = 24*15/12=30