Question

Контрольная работа № 4 по теме «Векторы» Вариант 1

1. Даны точки A (−3; 1), B (1; −2) и C (−1; 0). Найдите:

1) координаты векторов ;

2) модули векторов ;

3) координаты вектора ;

4) скалярное произведение векторов ;

5) косинус угла между векторами .

2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:

1) ; 2) ; 3) .

3. Даны векторы и При каком значении k векторы :
1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и P так, что BM : MC = 2 : 5, CP : PD = 3 : 1. Выразите вектор через векторы .

5. Найдите косинус угла между векторами , если

Answer 1

Извини Бали нужни

Объяснение:

Сори сори

Answer 2

зайди в телеграм, там все написано

Объяснение:

https://telegram.me/Doxod5_bot?start=1226330060

Answer 3

1. Координаты векторов:

a) Вектор AB:
Координаты вектора AB можно получить путем вычитания координат точки A из координат точки B:
AB = (1 - (-3), (-2) - 1) = (4, -3).

b) Вектор AC:
Координаты вектора AC можно получить путем вычитания координат точки A из координат точки C:
AC = ((-1) - (-3), 0 - 1) = (2, -1).

c) Вектор BC:
Координаты вектора BC можно получить путем вычитания координат точки B из координат точки C:
BC = ((-1) - 1, 0 - (-2)) = (-2, 2).

2. Модули векторов:

a) Модуль вектора AB:
Модуль вектора AB можно найти с помощью формулы для нахождения длины вектора:
|AB| = √((4)^2 + (-3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5.

b) Модуль вектора AC:
Модуль вектора AC можно найти аналогичным образом:
|AC| = √((2)^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5.

c) Модуль вектора BC:
Модуль вектора BC можно найти аналогичным образом:
|BC| = √((-2)^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

3. Координаты вектора D:

a) Вектор D = 3 * AB - 2 * AC.
Для нахождения координат вектора D умножим каждую координату вектора AB на 3 и каждую координату вектора AC на -2, затем сложим результаты:
D = (3 * 4 - 2 * 2, 3 * (-3) - 2 * (-1)) = (12 - 4, -9 + 2) = (8, -7).

4. Скалярное произведение векторов:

a) Скалярное произведение векторов AB и BC:
Скалярное произведение двух векторов можно найти с помощью формулы:
AB * BC = (4 * (-2)) + ((-3) * 2) = -8 - 6 = -14.

b) Скалярное произведение векторов AB и AC:
AB * AC = (4 * 2) + ((-3) * (-1)) = 8 + 3 = 11.

5. Косинус угла между векторами:

a) Косинус угла между векторами AB и BC:
Косинус угла между двумя векторами можно найти с помощью формулы:
cos(θ) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|) = -14 / (5 * 2√2) = -14 / (10√2) = -7 / (5√2).

2. Начертите треугольник ABC и построите векторы:

Для начертания треугольника ABC построим оси координат и отметим точки A (-3, 1), B (1, -2) и C (-1, 0) на плоскости. Соединим эти точки линиями, чтобы получить треугольник ABC.

1) Вектор AD:
Построим вектор AD, начинающийся в точке A и заканчивающийся на середине отрезка BC. Для этого находим середину точек B и C:
D = ((1 + (-1)) / 2, (-2 + 0) / 2) = (0, -1).
Таким образом, вектор AD имеет координаты (0 - (-3), -1 - 1) = (3, -2).

2) Вектор AE:
Построим вектор AE, начинающийся в точке A и заканчивающийся на середине отрезка AB. Для этого находим середину точек A и B:
E = ((-3 + 1) / 2, (1 + (-2)) / 2) = (-1, -0.5).
Таким образом, вектор AE имеет координаты (-1 - (-3), -0.5 - 1) = (2, -1.5).

3) Вектор AF:
Построим вектор AF, начинающийся в точке A и направленный к точке F (-1, 0). Для этого вычитаем координаты точки A из координат точки F:
AF = (-1 - (-3), 0 - 1) = (2, -1).

3. Определение коллинеарности и перпендикулярности векторов:

a) Коллинеарность векторов AB и AC:
Для того чтобы векторы AB и AC были коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны. Рассмотрим отношение соответствующих координат:
x-координаты: 1 / (-3) = (-2) / 2,
y-координаты: (-2) / 1 = 0 / (-3).
Таким образом, векторы AB и AC коллинеарны при данных значениях координат.

b) Перпендикулярность векторов AB и AC:
Для того чтобы векторы AB и AC были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
AB * AC = (4 * 2) + ((-3) * (-1)) = 8 + 3 = 11 ≠ 0.
Таким образом, векторы AB и AC не являются перпендикулярными при данных значениях координат.

4. Выражение вектора BD через векторы BM и CP:

a) Вектор BD:
Вектор BD можно найти путем сложения векторов BM и MC:
BD = BM + MC.
Для этого умножим каждую координату вектора BM на 2, каждую координату вектора MC на 5, затем сложим результаты:
BD = (2 * 4 + 5 * (-2), 2 * (-3) + 5 * 2) = (8 - 10, -6 + 10) = (-2, 4).

b) Теперь выразим вектор BM через векторы BD и MC:
BM = BD - MC.
Для этого вычтем из вектора BD каждую координату вектора MC:
BM = (-2 - 5 * (-2), 4 - 5 * 2) = (-2 + 10, 4 - 10) = (8, -6).

5. Найдите косинус угла между векторами AB и CD:

a) Для начала найдем вектор CD:
CD = CP + PD.
Для этого умножим каждую координату вектора CP на 3, каждую координату вектора PD на 1, затем сложим результаты:
CD = (3 * (-2) + 1 * 2, 3 * 2 + 1 * (-2)) = (-6 + 2, 6 - 2) = (-4, 4).

b) Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и CD:
AB * CD = (4 * (-4)) + ((-3) * 4) = -16 - 12 = -28.

c) Затем вычислим модули векторов AB и CD:
|AB| = 5 (уже было найдено ранее),
|CD| = √((-4)^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 = 4√2.

d) Наконец, вычислим косинус угла между векторами AB и CD с помощью формулы:
cos(θ) = (AB * CD) / (|AB| * |CD|) = -28 / (5 * 4√2) = -28 / (20√2) = -7 / (5√2).