Question

Дано точки : a(1; 1), b(1; 2), c(-2; 2), d(-3; 1). знайдіть кут між векторами ab і cd

Answer 1

Знайдемо координати векторів $\overline{AB}$ і $\overline{CD}$:

$\overline{AB}=(1-1;2-1)=(0;1)\\\overline{CD}=(-3-(-2);1-2)=(-1;-1)$

Знайдемо їхні довжини (модулі):

$|\overline{AB}|=\sqrt{0^2+1^2}=1\\|\overline{CD}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

Знайдемо їхній скалярний добуток через координати:

$\overline{AB} \cdot \overline{CD}=0 \cdot (-1)+1 \cdot (-1)=-1$

Тепер підставимо відомі значення в іншу формулу скалярного добутку, щоб знайти косинус кута (позначимо його $\varphi$):

$\overline{AB} \cdot \overline{CD}=|\overline{AB}| \cdot| \overline{CD}| \cdot \cos \varphi=-1\\1 \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \varphi = -1\\\cos \varphi=-\dfrac{1}{\sqrt 2}=-\dfrac{\sqrt 2}{2}\\\varphi=\dfrac{3 \pi}{4}$