В прямоугольнике ABCD из вершины B опущен перпендикуляр BK на диагональ AC. Найдите площадь прямоугольника, если BK = 4 , KC= 8
"Решение"
* * * Cразу можно написать: BC² = AC *KC _ пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике * * * A если . . .
ΔBKC ~ΔABC ⇒ BK/AB = BC / AC = KC/BC ⇔ BC² = AC *KC , но
BC² = BK²+ KC² =4² +8² =80 (теорема Пифагора)
80 =AC*8 ⇒AC =10
BK/AB = BC / AC ⇔ AB *BC = AC*BK ⇔ S(ABCD) = AC*BK =10*4= 40 (ед. площади) || S(ABCD) =2*AC*BK/2 =2S(ABC) ||
S(ABCD) = AC*BK =10*4= 40 (ед. площади)
На сколько я понял требуется решить только первую задачу.
Дана трапеция ABCD, AB=CD=7√2 см; AC⊥BD.
Найти радиус описанной около ABCD.
Пусть AC∩BD=F и пусть ∠FAB=α.
Вокруг равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность!
ΔABD=ΔDCA по двум сторонам и углу между ними (AB=DC; AD - общая; ∠BAD=∠CDA), поэтому ∠ADB=∠DAC, как углы лежащий напротив равных сторон в равных треугольниках.
В ΔAFD:
∠AFD=90°; ∠FAD=∠FDA=(180°-∠AFD):2=90°:2=45°. Таким образом ΔAFD - равнобедренный прямоугольны, AF=DF.
В прямоугольном ΔAFB:
AF=AB·cosα=7√2·cosα см
BF=AB·sinα=7√2·sinα см
В ΔABD:
BD=BF+FD=BF+AF=7√2·(sinα+cosα) см
∠BAD=α+45°
Вокруг ΔABD описана таже окружность, что и вокруг трапеции.
По теореме синусов:
, где R - радиус описанной.
ответ: 7 см.