ABC - равнобедренный треугольник, AC = 8, P_ABC = 18, V_тела вращения = V_цилиндра с высотой равной основанию треугольника и радиусом равным высоте треугольника - 2*V_конуса с радиусом основания равным высоте треугольника и высотой равным половине основания треугольника
V_цилиндра = pi*r^2*h
Радиус найдём воспользовавшись теоремой Пифагора и тем, что наш треугольник равнобедренный. AB = BC = (P_ABC - AC)/2 = (18-8)/2 = 5, r_основания цилиндра (=высоте треугольника) = V(AB^2+(AC/2)^2) = V25 + 16 = V41 (Корень), (высоту искали из прямоугольного треугольника ABC', C' делит AC пополам)
V_цилиндра = pi*r^2*h= pi * 41 * 8 =328pi
V_конуса = 1/3*pi*(r_конуса)^2*h_конуса = 1/3*pi*41*4 =123/3*pi
V_тела вращения = V_цилиндра - 2*V_конуса = 328pi - 246/3*pi = (328-82)pi = 246pi
– катеты; AB=c – гипотенуза.
Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .
Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .
Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника
Определение
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
, .
Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла
С введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.
Например, из формулы: . Аналогично: .
Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .
Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника
При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом
Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:
Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника
Доказательство
Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.
Аналогично: .
Рассмотрим следующую важную задачу.
Задача
Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .
Доказать:.
Доказательство
(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .
Отсюда получаем: .
.
.
Доказано.
Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.
Основное тригонометрическое тождество
Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество: .
Примечание:
Доказательство
, тогда: (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).
Доказано.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.
Решение примера
Дано: – прямоугольный (), .
Найти:
Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .
Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .
ответ: .
На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.
Список литературы
Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
Xvatit.com (Источник).
Egesdam.ru (Источник).
Домашнее задание
№ 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .
Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур