У правильного тетраэдра все двугранные углы равны.
Примем ребро тетраэдра, равным 1.
Плоский угол α двугранного угла равен углу между высотами из двух вершин основания к одному боковому ребру.
Получим равнобедренный треугольник с основанием 1 и боковыми сторонами, равными √3/2 (по свойству высоты равностороннего треугольника).
По теореме косинусов:
cos α = (√3/2)² + (√3/2)² - 1²)/(2*(√3/2)*(√3/2)) =
= ((3/4) + (3/4) - 1)/(3/2) = (1/2)/(3/2) = 1/3.
ответ: угол α равен arccos(1/3) ≈ 70,52878 градуса.
Объяснение:
MP и MK - перпендикуляры, значит <MKC=<MPC=90°, т.е. сумма этих двух противоположных друг другу углов равна 180°. Значит и сумма оставшихся двух (тоже противоположных другу другу) углов будет равна 180°, поскольку сумма углов четырёхугольника равна 360°.
Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°.
Это условие выполняется, значит вокруг четырёхугольника MPCK можно описать окружность.
Также, поскольку, например, <MKC=90°, и он вписанный, значит СМ - диаметр (Плоский угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой).