Рисунок - во вложении.
Т.к. E и F - внутренние точки отрезка АВ, и по условию АЕ=BF, то
для EB=AB-AE и для AF=AB-BF следует, что EB=AF.
Рассмотрим прямоугольные ΔADF и ΔВСЕ. У них: 1) АD=BC (противолежащие стороны прямоугольника); 2) AF=EB (по доказанному выше). Значит, ΔADF = ΔВСЕ по двум катетам.
Из равенства этих треугольников следует, что ∠DFA=∠СЕВ. Отсюда, ΔEGF - равнобедренный с основанием EF, тогда GF=GE. Доказан пункт Б).
Т.к. АВСD - прямоугольник, то АВ║CD. Тогда ∠EFG=∠GDC(как накрестлежащие при секущей FD) и ∠FEG=∠GCD (как накрестлежащие при секущей ЕС). Отсюда, ΔDGС - равнобедренный с основанием DC, тогда DG=GC. Доказан пункт A).
∠КМО = arccos(√3/3) ≈ 54,8°.
Объяснение:
Так как наклонные МК и КР равны, а угол между ними равен 60°, треугольник МКР - равносторонний и МР = МК=КР.
Пусть МР = р. Опустим перпендикуляр МО на плоскость а.
Тогда треугольник МОР равносторонний (так как проекции равных наклонных равны), МО=ОР. Высота этого треугольника ОН является и медианой, и биссектрисой (свойство равнобедренного треугольника). Тогда в прямоугольном треугольнике НОР катет НР равен р/2, а гипотенуза ОР = 2·ОН, так как катет ОН лежит против угла ОРН = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника).
По Пифагору МО²-ОН² = HР² =>
4x² -x² = p²/4 => x = р/√12 => MO = 2x = р√3/3.
В прямоугольном треугольнике ОКМ угол КМО - искомый угол.
Cos(∠KMO) = ОМ/КМ = (р√3/3)/р = √3/3.
∠КМО = arccos(√3/3) ≈ 54,8°.