task/30246302 В треугольнике заданы вершина А(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины. Найти координаты остальных вершин, составить уравнения сторон, а также найти длину высоты треугольника.
решение Для определенности пусть медиана BM , а высота BH . Координаты этой вершины B определяется в результате решения системы { x -5y +7=0 ; x + 4y-2= 0 . ⇔ {x-5y +7=0 ; 9y =9. ⇔{ x= -2 ; y= 1 . B(- 2; 1).
Уравнение стороны AC будет имеет вид y - 6 = k(x - 4) ; угловой коэффициент k определяется из k* k₁= - 1 , где k₁ угловой коэффициент прямой BH (т.к. AC⊥ BH ): x+4y -2=0 ⇔ y = (-1/4)x +1/2. ( k₁ = -1/4 ⇒ k = 4). y - 6 = 4(x - 4)
уравнение стороны AC : 4x - y - 10 = 0 . * * *(1/√17)*(4x -y -10) =0 * * *
Для определения координаты вершины С сначала определим координаты середины стороны AC (точка M) , а для этого достаточно решить систему уравнений ( уравнении прямых AC и BM) :
{ x- 5y +7=0 ; 4x - y - 10 = 0. ⇔ { x=3; y =2 . M(3 ; 2)
x(C) =2x(М)-x(A) =2*3-4 =2 ; y(C) =2y(М)-y(A) =2*2-6 =-2. C(2 ; -2)
* * * т.к. x(М)= ( x(A) + x(C) ) / 2 ; y(М)=( y(A) +y(C) ) / 2. * * *
Уравнение прямой AB: y-6=[(1-6):(-2 -4)]*(x -4) ⇔ 5x - 6y +16 =0.
Уравнение прямой BC: y-1=[(-2-1):(2 -(-2)]*(x -(-2)) ⇔ 3x+4y +2 =0.
Длина высоты BH (расстояние от точки B(-2 ; 1) до прямой AC ). Нормальное уравнение прямой AC: (4x - y - 10) /√17 = 0 * * * (4x - y - 10) /√(4²+ (-1)²) = 0 * * *
d = | 4*(-2) - 1 - 10 | / √17 = 0 . ⇔ d = 19 /√17= ( 19√17 ) / 17 .
Начнём. По свойству, биссектриса внутреннего угла делит противолижащию сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам. Вот у нас биссектриса делит гипотенузу в отношении 3:4. Тогда, стороны (назовём их а и b) также относятся: a:b=3:4. Пусть один отрезок гипотенузы будет равен 3х, тогда второй отрезок - 4х. Пусть сторона а=3у, тогда b=4у. Гипотенуза (назовём её с) = 3х+4х = 7х. По теореме Пифогара: a^2+b^2=c^2 <=>
9y^2+16y^2=49x^2
25y^2=49x^2
5у=7х
х=5/7*у
P (периметр)=a+b+c=4у+3у+7х=7у+5у=12у. Осталось найти у.
Назовём треугольник ABC, угол С - прямой. СМ - биссектриса. Биссектриса делит угол пополам, значит, угол АСМ = 45гр.
Рассмотрим треугольник АСМ, по теореме косинусов:
с^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC (Любая сторона треугольника равна сумме квадратов её двух других сторон без (минус) удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.)
с=АМ, АМ=4х=4*5/7*у=20/7*у
(20/7*у)^2=(4y)^2+(24√2)^2-2*4y*24√2*cos45гр (cos45гр=√2/2)
400/49*y^2=16y^2+1152-192y
384/49*y^2-192y+1152=0
Решаем это квадратное уравнение:
a=384/49, b=192, c=1152
k=96
y1=(-k-√(k^2-a*c))/a y1=считать не надо, так как он будет отрицательный, а нам нужен положительный корень
y2=(-k+√(k^2-a*c))/a y2=14
P=12*14=168
ответ: 168.