а - сторона ромба
периметр
Р = 4 а = 52
а = 52/4 = 13 см
Диагонали ромбы d1 и d2 перпендикулярны = >
d1 / d2 = 5 / 12 или d1 = 5d2 / 12
Cтороны прямоугольных треугольников, образуемых диагоналями, будут ^
d1/2, d2/2 - катеты
а - - гипотенуза (она же сторона ромба)
По теореме пифагора
(d1/2) ^2 + (d2/2) ^2 = a^2
d1^2 + d2^2 = 4a^2
(5d2 / 12) ^2 + d2^2 = 13^2
25d2^2 + 144d2^2 = 13^2 * 12^2
169d2^2 = (13^2*12^2
13^2 d2^2 = 13^2 * 12^2
d2^2 = 12^2
d2 = 12 см - вторая диагональ
d1 = 5d2 / 12 = 5 * 12 / 12 = 5 - первая диагональ
ответ: диагонали d1=5 cм, d2 = 12 см
"египетский" треугольник, подобный (3,4,5). Стороны 9,12,15. Расстояние от основания медианы к гипотенузе (то есть от середины гипотенузы) до катета 12 равно 9/2. А точка пересечения медиан на треть медианы ближе к вершине перяого угла, то есть расстояние от неё до катета 12 составит (2/3)*(9/2) = 3.
А можно и так. Медиана к гипотенузе равна 15/2, а точка пересечения медиан лежит на расстоянии (2/3)*(15/2) = 5 от прямого угла. При этом, если опустить перпендикуляр из этой точки на катет (да любой :)) в данном случае - на катет 12), то поучится ОПЯТЬ "египетский" треугольник, причем самый настоящий - (3,4,5). Доказательство этого совершенно очевидного факта такое - медиана образует с катетами углы, равные углам треугольника, поскольку разбивает треугольник на два равнобедренных. Отсюда следует подобие построенного треугольника исходному.
Ну, вот так само собой и получилось, что расстояние от точки пересечения медиан до катетов 3 и 4. Нужное по задаче расстояние 3.
Доказательство ниже
Объяснение:
Так посчитав угол ACB заметим что он прямой. BD перпендикулярно к (ABC) значит BC перпендикулярно к AC.
AC перпендикулярно к BC и BD (как раньше было доказано) и B пересекает BD в точке B. Значит AC перпендикулярно (BCD). А значит перпендикулярно и DC.
Или можно воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах.