Рассмотрим треугольники ACP и BCH.
1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))
2) ∠C — общий
∠APC=∠BHC=90º (так как AP и BH — высоты (по условию)).
Сумма углов треугольника равна 180º .
В треугольнике ACP
∠CAP=180º — (∠APC+∠C)=180º — 90º — ∠C=90º — ∠C.
В треугольнике BCH
∠CBH=180º — (∠BHC+∠C)=180º — 90º — ∠C=90º — ∠C.
Отсюда,
3) ∠CAP=∠CBH.
Следовательно, треугольники ACP и BCH равны
(по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AP=BH.
Что и требовалось доказать.
Нет, не всегда, обратное утверждение подчиняется теореме Бойяи Гервина, которая гласит, что два равновеликих многоугольника равносоставлены.
К слову, равновеликие - это те, у которых равные площади.
а равносоставлены это те, которые можно разрезать на одинаковое количество соответственно равных частей.