1.∠МОН + ∠ МОР = развёрнутый угол НОР и равен 180°
∠ МОР = 180 - 64 = 116°
Δ МОР - равнобедренный ( по свойству диагоналей прямоугольника)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
3
Дано:
прямоугольник АВСД,
АС и ВД — диагонали прямоугольника АВСД,
точка О — точка пересечения диагоналей АС и ВД,
угол АОВ = 65 градусов.
Найти градусную меру угла ВОА — ?
Рассмотрим прямоугольник АВСД. Его диагонали равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВО. Угол АОВ = углу ВОА, так как это один и тот же угол. Следовательно угол АОВ = углу ВОА = 65 градусов.
ответ: 65 градусов.
25°
Объяснение:
Дано: ABCD - выпуклый четырехугольник.
∠АВМ=65°; ∠АМВ=50°; ∠ВОС=100°; ∠АDC=60°.
Найти: ∠ВСА.
1. Рассмотрим ΔАВМ.
Сумма углов треугольника равна 180°.
⇒ ∠А=180°-(∠АВМ+∠АМВ)=180°-(65°+50°)=65°
⇒ ΔАВМ - равнобедренный (углы при основании равны)
АМ=МВ.
2. Рассмотрим ΔАОМ.
Вертикальные углы равны.
⇒∠ВОС=∠1=100°
∠2=180°-(∠1+∠ОМВ)=180°-(100°+50°)=30°
3. Рассмотрим ΔАСD
∠АСD=180°-(∠2+∠D)=180°-(30°-60°)=90°
⇒ ΔАСD прямоугольный.
СМ - медиана (АМ=МD)
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
⇒ АМ=МС=MD
4. Рассмотрим ΔАСМ.
АМ=МС (п.3) ⇒ ΔАСМ - равнобедренный.
⇒ ∠2=∠3=30° (углы при основании р/б треугольника равны)
∠АМС=180°-(∠2+∠3)=180°-60°=120°
5. Рассмотрим ΔВМС.
АМ=МВ (п.1)
АМ=МС (п.3)
⇒МВ=МС ⇒ΔВМС - равнобедренный.
∠5=∠ВСМ (углы при основании р/б треугольника равны)
∠4=∠АМС-∠АМВ=120°-50°=70°
⇒ ∠5=∠ВСМ=(180°-∠4):2=(180°-70°):2=55°
6. ∠ВСА=∠ВСМ-∠3=55°-30°=25°
Представим диагонали четырёхугольника в виде векторов MK и PN. Обозначим для простоты эти векторы MK=a и PN=b
Координаты векторов: а=(4-5; 4-(-3))=(-1; 7); b=(1-6; 2-1)=(-5; 1)
Векторное произведение векторов a×b=|a|·|b|·sin(a^b) (здесь ^ -обозначение угла). Отсюда
sin(a^b)=(a×b)/(|a|·|b|)
(a×b)=(xayb-xbya)=(-1·1-7·(-5))=34
|a|=√((-1)2+72)=5√2; |b|=√((-5)2+12)=√26
sin(a^b)=34/(5√(2·26))=17/(5√13)