15.16. докажите,
е докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из
двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
17 докажите, что две прямые, параллельные третьей, парал-
лельны.
18. на рисунке 16, 10 стороны а и b одного угла соответственно
параллельны сторонамеи другого угла. докалите, что эти
углы равны,
15.16. Первое утверждение гласит: если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Предположим, у нас есть две параллельные прямые, назовем их l и m. И пусть у нас есть третья прямая n, которая пересекает прямую l в точке A. Наша задача - доказать, что прямая n также пересекает прямую m.
1. Пусть точка B - пересечение прямых n и m. Мы должны доказать, что точка B существует.
2. Предположим, что прямая n не пересекает прямую m. В таком случае, прямые n и m не пересекаются нигде, и мы можем считать, что они расположены в плоскости друг под другом.
3. Извлекаем противоречие: если прямые n и m находятся в разных плоскостях, они не могут быть параллельными, тогда прямые l и m тоже были бы в разных плоскостях, что противоречит изначальному предположению, что l и m параллельны.
4. Следовательно, мы можем заключить, что точка B существует и прямая n пересекает прямую m.
Таким образом, мы доказали, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
17. Второе утверждение гласит: две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Для доказательства этого утверждения, нам понадобятся две параллельные прямые, назовем их l и m, и третья прямая n, которая параллельна l и m.
1. Предположим, что прямые l и m не параллельны.
2. Возьмем точку A на прямой l.
3. Проведем прямую n через точку A и параллельно прямой m.
4. Таким образом, точка B - пересечение прямых n и m.
5. Однако, по предыдущему доказательству, если прямая n пересекает прямую m, значит прямые l и m не являются параллельными. Получили противоречие.
6. Следовательно, наше предположение было неверным, и прямые l и m действительно параллельны третьей прямой n.
Таким образом, мы доказали, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
18. Третье утверждение гласит: на рисунке 16, 10 стороны a и b одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла. Докажите, что эти углы равны.
Для доказательства этого утверждения, нам нужно рассмотреть углы и стороны, которые нам даны на рисунке 16.
1. По определению параллельности, если стороны a и b одного угла параллельны соответствующим сторонам другого угла, то они никогда не пересекутся.
2. Таким образом, у нас есть два угла, A и B, у которых стороны a и b соответственно параллельны.
3. Предположим, что углы A и B не равны.
4. В таком случае, каждый из углов будет иметь различную величину.
5. Проведем прямую, перпендикулярную всем сторонам этих двух углов (назовем ее x), таким образом, она пересечет стороны a и b.
6. Получили противоречие: если прямая x пересекает стороны a и b, это означает, что стороны a и b не параллельны.
7. Следовательно, наше предположение было неверным, и углы A и B должны быть равными.
Таким образом, мы доказали, что углы A и B на рисунке 16 равны.
Верны все три утверждения в вопросе.