Основание высоты правильной четырёхугольной пирамиды - точка пересечения диагоналей основания (квадрата). Эта же точка - центр вписанной в квадрат и описанной вокруг него окружности.
О - точка пересечения диагоналей, Н - середина стороны АD.
1).
BD - диагональ квадрата.
Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, ⇒ МО перпендикулярна любой прямой, проходящей через т.О.
∆ МОD - прямоугольный. OD=ВD/2.
OD=√(DM² -MO² )=√(100-36)=8⇒
BD=16 - диагональ основания
2)
ОВ=ОА, ∠ВОА=90°, ⇒ АВ=ВО•√2=8√2 – сторона основания.
3)
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. r=AB:2=8√2):2=4√2
4)
Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. R=OD=8;
5)
Все боковые грани правильной пирамиды равны.
КН║АВ, КН=АВ;
OН=КН/2; Н - середина АD, МН - апофема грани AMD.
Из ∆ МОН по т.Пифагора
МН=√ (МО²+ОН²)=√68=2√17- апофема.
R=5
Sп.окр.=4πR²=4*3.14*25=314