В1. В параллелепипеде ABCDA, B,C,D, точка ЕЕ ВСІ и ВЕ: ЕС, = 2:1, точка FeC, D, и С, F: FD = 1:2. Ука- жите векторы с началом и концом в вершинах параллеле- пипеда, сонаправленные с вектором EF, и найдите их длину, если |EF| = а. ответ:
Добрый день! Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелепипеда и отношениями длин векторов.
1. Параллелепипед ABCDA имеет вершины A, B, C, D. Точка E лежит на отрезке BC, а точка F на отрезке CD. Вектор EF задан условием, и нам нужно найти параллельные ему векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда и их длины.
2. Рассмотрим векторы BA, BC и BD. Найдем их длины.
- Вектор BA имеет начало в вершине B и конец в вершине A. Его длина равна длине отрезка BA и обозначается |BA|. Можно заметить, что вектор BA сонаправлен с вектором EA, так как они лежат на одной прямой. Найдем длину вектора BA и обозначим ее как |BA|.
Используя отношение длин отрезков в параллелепипеде, имеем: |BE| = 2|EC|, то есть |EC| = (1/2)|BE|.
Аналогично, |CB| = 2|BE| и |AB| = 3|BE|.
Значит, длина вектора BA равна 3|BE|. Так как |BE| = (1/2)|EC|, то длина вектора BA будет равна (3/2)|EC|.
- Вектор BC имеет начало в вершине B и конец в вершине C. Его длина равна длине отрезка BC и обозначается |BC|. Мы уже знаем, что |BC| = 2|BE|.
- Вектор BD имеет начало в вершине B и конец в вершине D. Его длина равна длине отрезка BD и обозначается |BD|. Можно заметить, что вектор BD сонаправлен с вектором CE, так как они лежат на одной прямой. Найдем длину вектора BD и обозначим ее как |BD|.
Используя отношение длин отрезков в параллелепипеде, имеем: |CD| = 3|FD|, то есть |FD| = (1/3)|CD|.
Аналогично, |CE| = 3|FD| и |BD| = 4|FD|.
Значит, длина вектора BD равна 4|FD|. Так как |FD| = (1/3)|CD|, то длина вектора BD будет равна (4/3)|CD|.
3. Вектор EF задан условием, что его длина |EF| равна а.
4. Мы знаем, что векторы BA, BC и BD сонаправлены с вектором EF. Это значит, что движение вдоль вектора EF можно представить как последовательность движений вдоль векторов BA, BC и BD.
5. Используя свойство параллельности векторов, мы можем записать, что длина каждого вектора в последовательности движений будет коэффициентом пропорциональности между длинами векторов EF и BA, BC, BD.
Для вектора BA: |BA| = (3/2)|EC|.
Для вектора BC: |BC| = 2|BE|.
Для вектора BD: |BD| = (4/3)|CD|.
6. Запишем пропорцию между длинами векторов EF и BA, BC, BD:
Для последовательности движений вдоль векторов BC и BD, пропорции будут такие же и равны 2а/|BC| и 3а/|BD| соответственно.
7. Значит, длина каждого вектора в последовательности движений будет равна 2а/|BE|, 2а/|BC| и 3а/|BD|.
8. Осталось найти значения |BE|, |BC| и |BD|, чтобы получить окончательные ответы.
Используя отношение длин отрезков в параллелепипеде, имеем: |BE| = 2|EC| и |BC| = 2|BE|. Тогда |BC| = 4|EC|.
Аналогично, |BD| = 4|FD| и |FD| = (1/3)|CD|. Тогда |BD| = (4/3)|CD|.
9. Подставим найденные значения и получим окончательные ответы:
Длина вектора, сонаправленного с вектором EF и имеющего начало в вершине A, будет равна (2а)/(3|BE|). Подставим |BE| = (1/2)|EC|:
Длина вектора, сонаправленного с вектором EF и имеющего начало в вершине A, будет равна (2а)/(3*(1/2)*|EC|) = (4а)/(3|EC|).
Длина вектора, сонаправленного с вектором EF и имеющего начало в вершине C, будет равна (2а)/(4|EC|).
Длина вектора, сонаправленного с вектором EF и имеющего начало в вершине D, будет равна (3а)/(4/3)|CD| = (9а)/(4|CD|).
Таким образом, длины векторов сонаправленных с вектором EF и имеющих начало в вершинах A, C и D, равны: (4а)/(3|EC|), (2а)/(4|EC|) и (9а)/(4|CD|) соответственно.
Ответ: Длины этих векторов равны (4а)/(3|EC|), (2а)/(4|EC|) и (9а)/(4|CD|).
1. Параллелепипед ABCDA имеет вершины A, B, C, D. Точка E лежит на отрезке BC, а точка F на отрезке CD. Вектор EF задан условием, и нам нужно найти параллельные ему векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда и их длины.
2. Рассмотрим векторы BA, BC и BD. Найдем их длины.
- Вектор BA имеет начало в вершине B и конец в вершине A. Его длина равна длине отрезка BA и обозначается |BA|. Можно заметить, что вектор BA сонаправлен с вектором EA, так как они лежат на одной прямой. Найдем длину вектора BA и обозначим ее как |BA|.
Используя отношение длин отрезков в параллелепипеде, имеем: |BE| = 2|EC|, то есть |EC| = (1/2)|BE|.
Аналогично, |CB| = 2|BE| и |AB| = 3|BE|.
Значит, длина вектора BA равна 3|BE|. Так как |BE| = (1/2)|EC|, то длина вектора BA будет равна (3/2)|EC|.
- Вектор BC имеет начало в вершине B и конец в вершине C. Его длина равна длине отрезка BC и обозначается |BC|. Мы уже знаем, что |BC| = 2|BE|.
- Вектор BD имеет начало в вершине B и конец в вершине D. Его длина равна длине отрезка BD и обозначается |BD|. Можно заметить, что вектор BD сонаправлен с вектором CE, так как они лежат на одной прямой. Найдем длину вектора BD и обозначим ее как |BD|.
Используя отношение длин отрезков в параллелепипеде, имеем: |CD| = 3|FD|, то есть |FD| = (1/3)|CD|.
Аналогично, |CE| = 3|FD| и |BD| = 4|FD|.
Значит, длина вектора BD равна 4|FD|. Так как |FD| = (1/3)|CD|, то длина вектора BD будет равна (4/3)|CD|.
3. Вектор EF задан условием, что его длина |EF| равна а.
4. Мы знаем, что векторы BA, BC и BD сонаправлены с вектором EF. Это значит, что движение вдоль вектора EF можно представить как последовательность движений вдоль векторов BA, BC и BD.
5. Используя свойство параллельности векторов, мы можем записать, что длина каждого вектора в последовательности движений будет коэффициентом пропорциональности между длинами векторов EF и BA, BC, BD.
Для вектора BA: |BA| = (3/2)|EC|.
Для вектора BC: |BC| = 2|BE|.
Для вектора BD: |BD| = (4/3)|CD|.
6. Запишем пропорцию между длинами векторов EF и BA, BC, BD:
а/|BA| = а/((3/2)|EC|) = а/(3/2)*((1/2)|BE|) = (2а)/(3|BE|).
Для последовательности движений вдоль векторов BC и BD, пропорции будут такие же и равны 2а/|BC| и 3а/|BD| соответственно.
7. Значит, длина каждого вектора в последовательности движений будет равна 2а/|BE|, 2а/|BC| и 3а/|BD|.
8. Осталось найти значения |BE|, |BC| и |BD|, чтобы получить окончательные ответы.
Используя отношение длин отрезков в параллелепипеде, имеем: |BE| = 2|EC| и |BC| = 2|BE|. Тогда |BC| = 4|EC|.
Аналогично, |BD| = 4|FD| и |FD| = (1/3)|CD|. Тогда |BD| = (4/3)|CD|.
9. Подставим найденные значения и получим окончательные ответы:
Длина вектора, сонаправленного с вектором EF и имеющего начало в вершине A, будет равна (2а)/(3|BE|). Подставим |BE| = (1/2)|EC|:
Длина вектора, сонаправленного с вектором EF и имеющего начало в вершине A, будет равна (2а)/(3*(1/2)*|EC|) = (4а)/(3|EC|).
Длина вектора, сонаправленного с вектором EF и имеющего начало в вершине C, будет равна (2а)/(4|EC|).
Длина вектора, сонаправленного с вектором EF и имеющего начало в вершине D, будет равна (3а)/(4/3)|CD| = (9а)/(4|CD|).
Таким образом, длины векторов сонаправленных с вектором EF и имеющих начало в вершинах A, C и D, равны: (4а)/(3|EC|), (2а)/(4|EC|) и (9а)/(4|CD|) соответственно.
Ответ: Длины этих векторов равны (4а)/(3|EC|), (2а)/(4|EC|) и (9а)/(4|CD|).