В прямоугольном треугольнике ACВ (угол С=90 градусов) CD перпендикулярна АВ; отношение АС к СВ равна отношению 1 к 2. Найти отношение площадей треугольников ACD и CDB.
Добрый день! Я рад предложенному заданию и готов ответить на ваш вопрос.
Чтобы найти отношение площадей треугольников ACD и CDB, нам необходимо сначала найти площади этих треугольников. Для этого используем формулу площади прямоугольного треугольника, которая равна половине произведения длины одного катета на длину гипотенузы.
Дано, что отношение АС к СВ равно 1 к 2. Это означает, что длина стороны АС вдвое меньше, чем длина стороны СВ. Обозначим длину стороны АС как x и длину стороны СВ как 2x.
Также дано, что угол С равен 90 градусов. Это означает, что сторона СD является высотой треугольника АСВ и подразумевает, что сторона СD проходит через вершину прямого угла и перпендикулярна стороне АВ.
Теперь можем рассмотреть треугольник АСD. У него сторона CD равна х (по построению). Также известно, что сторона СВ равна 2х, и поскольку треугольник АСВ - прямоугольный, то гипотенуза (сторона АВ) равна √(х^2 + (2х)^2) = √(х^2 + 4х^2) = √(5х^2) = х√5.
Теперь мы можем найти площадь треугольника АСD, используя формулу для площади прямоугольного треугольника: S_АСD = (1/2) * сторона_АС * сторона_СD = (1/2) * x * х = (1/2) * x^2.
Теперь рассмотрим треугольник СDB. Из построения известно, что сторона СВ равна 2х (по условию), а сторона СD равна х (по построению). Таким образом, площадь треугольника CDB равна S_CDB = (1/2) * сторона_СВ * сторона_СD = (1/2) * 2x * х = (1/2) * 2x^2 = x^2.
Итак, мы получили, что площадь треугольника ACD равна (1/2) * x^2, а площадь треугольника CDB равна x^2.
Теперь можем выразить отношение площадей треугольников ACD и CDB:
Чтобы найти отношение площадей треугольников ACD и CDB, нам необходимо сначала найти площади этих треугольников. Для этого используем формулу площади прямоугольного треугольника, которая равна половине произведения длины одного катета на длину гипотенузы.
Дано, что отношение АС к СВ равно 1 к 2. Это означает, что длина стороны АС вдвое меньше, чем длина стороны СВ. Обозначим длину стороны АС как x и длину стороны СВ как 2x.
Также дано, что угол С равен 90 градусов. Это означает, что сторона СD является высотой треугольника АСВ и подразумевает, что сторона СD проходит через вершину прямого угла и перпендикулярна стороне АВ.
Теперь можем рассмотреть треугольник АСD. У него сторона CD равна х (по построению). Также известно, что сторона СВ равна 2х, и поскольку треугольник АСВ - прямоугольный, то гипотенуза (сторона АВ) равна √(х^2 + (2х)^2) = √(х^2 + 4х^2) = √(5х^2) = х√5.
Теперь мы можем найти площадь треугольника АСD, используя формулу для площади прямоугольного треугольника: S_АСD = (1/2) * сторона_АС * сторона_СD = (1/2) * x * х = (1/2) * x^2.
Теперь рассмотрим треугольник СDB. Из построения известно, что сторона СВ равна 2х (по условию), а сторона СD равна х (по построению). Таким образом, площадь треугольника CDB равна S_CDB = (1/2) * сторона_СВ * сторона_СD = (1/2) * 2x * х = (1/2) * 2x^2 = x^2.
Итак, мы получили, что площадь треугольника ACD равна (1/2) * x^2, а площадь треугольника CDB равна x^2.
Теперь можем выразить отношение площадей треугольников ACD и CDB:
Отношение площадей = (Площадь треугольника ACD) / (Площадь треугольника CDB) = ((1/2) * x^2) / (x^2) = (1/2).
Таким образом, отношение площадей треугольников ACD и CDB равно 1 к 2, или 1:2.