Построение:
На прямой "а" возьмем произвольную точку А и из нее как из центра проведем окружность произвольного радиуса. Обозначим точку пересечения этой окружности с прямой "а" через "b" и "с" и из них, как из центров проведем окружности радиуса R=bс. Соединив точку пересечения "d" и "е" этих окружностей получим прямую, проходящую через точку А перпендикулярно прямой "а".
Доказательство:
Хорда de является общей хордой пересекающихся окружностей, следовательно, она перпендикулярна прямой, соединяющей центры этих окружностей (свойство). Эта хорда проходит через точку А на прямой "а", поскольку она равноудалена от точек "b" и "с", а точка А делит отрезок bс пополам по построению.
Проекция апофемы A на основание правильной треугольной пирамиды равна 1/3 высоты h основания.
Или (1/3)h = (1/3)*(a*cos 30°) = (1/3)*6*(√3/2) = √3 см .
Тогда апофема А = ((1/3)h)/(cos 45°) = √3/(√2/2) = √6 см.
Площадь основания So = a²√3/4 = 36√3/4 = 9√3 см².Периметр основания Р =3а = 3*6 = 18 см.
Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2)PA = (1/2)*18*√6 = 9√6 см².Искомая площадь полной поверхности пирамиды равна:Sп = Sо + Sбок = 9√3 + 9√6 = 9(√3 + √6) = 9√3(1 + √2) ≈ 37,63386 см².