Треугольник ABC остроугольный. Высоты A и B дает пересечение H, образуя угол AHB = 114. Пересечение биссектрис BC образует K, образуя угол BKC= 130. Найдите градусы всех углов
Треугольник ABC остроугольный. Высоты, проведенные из вершин A и B, пересекаются в точке H, образуя угол AHB = 114°. Биссектрисы углов B и C пересекаются в т. K, образуя угол BKC= 130°. Найдите градусную меру всех углов треугольника АВС.
Решение.
1) В ∆ ВКС ∠КВС+ ∠КСВ=180°-130°=50° (из суммы углов треугольника)
∠КВС= 0,5 ∠АВС;
∠КСВ=0,5 угла КСВ ⇒ их сумма равна 0,5•(∠АВС+∠АСВ) ⇒
В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. Доказательство: Пусть АБВ - равнобедренный треугольник , АК и БЛ - его медианы. Тогда треугольники АКБ и АЛБ равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона АБ общая, стороны АЛ и БК равны как половины боковых сторон равнобедренного треугольника, а углы ЛАБ и КБА равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны АК и ЛБ равны. Но АК и ЛБ - медианы равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам.
Треугольник ABC остроугольный. Высоты, проведенные из вершин A и B, пересекаются в точке H, образуя угол AHB = 114°. Биссектрисы углов B и C пересекаются в т. K, образуя угол BKC= 130°. Найдите градусную меру всех углов треугольника АВС.
Решение.
1) В ∆ ВКС ∠КВС+ ∠КСВ=180°-130°=50° (из суммы углов треугольника)
∠КВС= 0,5 ∠АВС;
∠КСВ=0,5 угла КСВ ⇒ их сумма равна 0,5•(∠АВС+∠АСВ) ⇒
∠АВС+∠АСВ=2•50°=100°. Тогда ∠ВАС=180°-100°=80°
2) Обозначим высоты ВТ и АМ.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.
В ⊿ АВТ ∠АВТ=90°-угол А=90°-80°=10°
В ⊿ ВНМ ∠ВНМ=180°-114°=66° ( смежный угу МНТ) ⇒
∠НВМ=90°-66°=24° ⇒
∠АВС=∠АВТ+∠НВМ=10°+24°=34° ⇒
∠ВСА=180°-∠А-∠В=180°-80°-34°=66°