рассмотрим треугольники abc и a1b1c1, у которых ав = a1b1, ас = a1c1 ∠ а = ∠ а1 (см. рис.2). докажем, что δ abc = δ a1b1c1.
так как ∠ а = ∠ а1, то треугольник abc можно наложить на треугольник а1в1с1 так, что вершина а совместится с вершиной а1, а стороны ав и ас наложатся соответственно на лучи а1в1 и a1c1. поскольку ав = a1b1, ас = а1с1, то сторона ав совместится со стороной а1в1 а сторона ас — со стороной а1c1; в частности, совместятся точки в и в1, с и c1. следовательно, совместятся стороны вс и в1с1. итак, треугольники abc и а1в1с1 полностью совместятся, значит, они равны.
1) Объём конуса V = (1/3)π*R²*h, где R и h - радиус основания и высота конуса.
По теореме Пифагора, R² + h²=L², откуда R² = (L²- h²) м².
Тогда V = (π*( L² - h²)*h)/3 = (π/3)*( L²*h - h³) м³.
Производная V'(h) = (π/3)*( L² - 3h²).
Приравнивая её к нулю, приходим к уравнению (π/3)*( L² - 3h²) = 0.
Нулю приравниваем второе выражение в скобках.
Отсюда находим h = √(( L²)/3) = L/√3 = 28,2/√3 ≈ 16,28128 см.
Так как значение h положительно, то найденная точка h= (L/√3) является точкой максимума функции V(h).
Подставим значение h= (L/√3) в уравнение объёма:
V = (π/3)*( L²*(L/√3) - (L/√3)³) = (2πL3)/(9√3).
Значение Vmax = (2π*28,23)/(9/√3) ≈ 9039,0764 cм³.
ответ: 9039,0764 cм³.
2) Площадь бака S = πR² + 2 πRh.
Выразим h через объём: V= πR²h, откуда h = V/πR².
Заменим h в формуле площади:
S = πR² + 2πR(V/πR²) = πR² + (2V/R).
Находим производную функции площади по R²:
S’ = 2πR - (2V/R2) и приравниваем нулю.
2πR + (2V/R2) = 0, откуда находим R = ³√(V/π) = ³√(17,576π/π) = 2,6 см.
ответ: S = (π*2,62) + (2*17,576π/2,6) = 63,7115 кв.ед.