а)
проекция Точки A на плоскость (A1B1C1)=A1, проекция точки D=D1, значит проекция отрезка AD=A1D1.
Отрезок A1D1║B1C1 из свойств правильного шестиугольника, и A1D1║AD так как плоскость (ABC)║(A1B1C1) значит AD║B1C1 Ч.Т.Д.
б)
Рассмотрим треугольник A1B1C1, опустим высоту A1H на основание B1C1, AH Также будет ⊥B1C1 по теореме о трех перпендикулярах, значит AH искомое расстояние.
AA1 будет ⊥A1H так-как он ⊥ плоскости (A1B1C1).
найдем A1H методом площадей в треугольнике A1B1C1.
$$\begin{lgathered}S=\frac{1}{2} A_1B_1*B_1C_1*sin(120)=\frac{1}{2} B_1C_1*A_1H\\a^2*sin(120)=a*A_1H\\A_1H=a*sin(180-60)=a*sin(60)=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{lgathered}$$
A1H также можно было найти рассмотрев треугольник A1BH, сказав что A1H=A1B1*sin(60)
теперь по теореме пифагора найдем AH:
$$AH=\sqrt{A_1H^2+AA_1^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$$
ответ: $$AH=\frac{a\sqrt{7}}{4}$$
AB = BC = AC,
Углы ABC, BAC и BCA равны 60 градусам.
Углы LBM и ABC вертикальные, следовательно угол LBM равен углу ABC и равен 60 градусам.
На продолжении стороны AB за точку B отметим точку M так, чтобы угол LMB был равен 60 градусам.
Рассмотрим получившийся треугольник BLM:
Угол BLM = 180 - угол LBM - угол LMB = 180 - 60 - 60 = 60
Мы нашли, что все три угла треугольника BLM равны 60 градусам, следовательно он правильный, следовательно BL = BM = LM.
AL = KL (по условию), следовательно треугольник ALK равнобедренный, следовательно угол LAB равен углу LKM.
Углы LBA и LBM смежные, следовательно угол LBA = 180 - угол LBM
Углы LMK и LMB смежные, следовательно угол LMK = 180 - угол LMB
Мы знаем, что угол LBM равен углу LMB, следовательно угол LBA равен углу LMK.
Угол ALB = 180 - угол LAB - угол LBA (сумма углов треугольника 180)
Угол KLM = 180 - угол LKM - угол LMK (сумма углов треугольника 180)
Угол LAB равен углу LKM и угол LBA равен углу LMK, следовательно угол ALB равен углу KLM.
Мы знаем, что AL = KL, BL = LM и угол LBM равен углу LMB, следовательно треугольники ABL и KLM равны, по первому признаку равенства треугольников, следовательно AB = KM.
AB = BC и AB = KM, следовательно BC = KM.
Точка B делит отрезок CL на два отрезка, следовательно CL = BC + BL
Точка M делит отрезок BK на два отрезка, следовательно BK = BM + KM
Мы знаем, что BL = BM и BC = KM, следовательно CL = BK.
Доказано.