Пусть О - точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСД.
Рассмотри четырёхугольник АКСМ.
Его диагональ АС является диагональю параллелограмма АВСД, которая точкой О делится пополам. Следовательно, одна диагональ четырёхугольника АКСМ делится точкой О пополам.
Поскольку ОК = ОВ - ВК, а ОМ = ОД - МД, ВК = МД и ОВ = ОД, то ОК = ОМ.
То есть диагональ КМ четырёхугольника АКСМ состоит из двух равных частей ОК и ОМ.
Получилось, что и 2-я диагональ четырёхугольника АКСМ делится точкой О пополам.
Мы знаем, что если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Что и требовалось доказать
Высота в прямоугольном тр-ке, проведённая к гипотенузе: СД=ав/с.
Площадь тр-ка АВС: S=ав/2=10 ⇒ ав=20.
Площадь тр-ка СДЕ: s=CД·ДЕ/2=ав·ДЕ/2с=10·ДЕ/с ⇒ ДЕ=s·c/10=3c/10.
В прямоугольном тр-ке СДЕ ДЕ²=СЕ²-СД².
СЕ - медиана, проведённая к гипотенузе, значит СЕ=АВ/2=с/2.
ДЕ²=(с/2)²-(20/с)²=(с²/4)-(400/с²)=(с⁴-1600)/4с².
Объединим два полученных уравнения стороны ДЕ, одновременно возведя первое в квадрат:
9с²/100=(с⁴-1600)/4с²,
36с⁴=100с⁴-160000,
64с⁴=160000,
с⁴=2500,
с=√50=5√2 - это ответ.
Не проверял как эта задача решена в интернете. Надеюсь моё решение будет оригинальным.