Question

Чи лежать точки А, В, С на одній прямій, якщо А(1;0;0), В(1;2;2), і С(2;2;2)

Answer 1

Нет

Объяснение:

Общее уравнение прямой в пространстве ax + by + cz + d = 0, где a,b,c, d -- числа.

Через любые две точки можно построить прямую и притом только одну. Допустим, что через точки A и B проходит прямая. Найдем ее уравнение: для этого подставим координаты в общее уравнение и найдем коэффициенты.

Подставляем в уравнение координаты точки A(1,0,0):

a*1 + b*0 + c*0 + d = 0

a + d = 0

Подставляем в уравнение координаты точки и(1,2,2):

Подставляем в уравнение координаты точки A(1,0,0):

a*1 + b*2 + c*2 + d = 0

a + 2b + 2c + d = 0

Объединим 2 полученных уравнения в систему и решим ее:

$\left \{ {{ a + d = 0} \atop {a + 2b + 2c + d = 0}} \right. \\\\\left \{ {{ a + d = 0} \atop {a + d + 2(b + c) = 0}} \right. \\\\\left \{ {{ a + d = 0} \atop {2(b + c) = 0}} \right. \\\\\left \{ {{ a + d = 0} \atop {b + c = 0}} \right. \\\\\left \{ {{ d = - a } \atop {c = -b}} \right. \\\\$

Пусть a = 1, b = 1, тогда d = -1, c = -1. Получаем уравнение прямой, проходящей через точки A и B:

1*x + 1*y -1*z - 1 = 0

x + y - z - 1 = 0.

Если точка C, лежит на одной прямой с точками A и B, то ее координаты должны удовлетворять полученному уравнению прямой. Проверим:

2 + 2 - 2 - 1 ≠ 0 ⇒ C не лежит на одной прямой с точками A и B