Для начала выведем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними. Известная нам формула площади:
Sabc = (1/2)*b*h (1), где b - сторона треугольника, а h - высота, проведенная у этой стороне. Рассмотрим прямоугольный треугольник СВН. В нем катет ВН - (высота h треугольника АВС, проведенная к стороне АС). В треугольнике СВН SinC = h/a (отношение противолежащего катета к гипотенузе). =>
h = a*SinC (2). Подставим (2) в (1):
Sabc = (1/2)*b*a*SinC. (3) То есть площадь ЛЮБОГО треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Значит Sabc = (1/2)*a²*SinA.
В ромбе все стороны равны. Ромб делится диагональю на два равных треугольника. Противоположные углы ромба равны, а углы, прилежащие к одной стороне в сумме равны 180 градусов, то есть один угол α, а второй 180 - α. Sinα = Sin(180-α). Тогда площадь ромба равна из (3):
S=2*(1/2)*a*a*SinА = а²SinA, что и требовалось доказать.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
У задачи есть два случая.
Первый случай, когда основание, равное 10 - меньшее.
Второй случай, когда основание, равное 10 - большее.
Рассмотрим рисунки.
Для первого случая:
Чтобы найти величину неизвестного основания АD, нужно найти х=АМ.
АМ-катет прямоугольного ΔАВМ, с извесной гипотенузой АВ=5 и катетом ВМ=4 (высота трапеции). АМ=√(АВ²-ВМ²)=√(25-16)=3
Т.к. АВ=СD и ВМ=СМ, а также ∠А=∠D и ∠АМВ=∠DNC, то ΔАВМ=ΔDNC и, соответственно, x=АМ=ND=3.
Т.к. основания трапеции параллельны, то высоты, опущенные из вершин верхнего основания ВС на нижнее, образуют прямоугольник со сторонами ВС=МN=10 и ВМ=СМ=4.
Основаниие АD=AM+MN+ND=MN+2·x
Тогда АD=10+2·3=16.
Тогда площадь такой трапеции S₁=BM·(BC+AD)÷2=4·(10+16)÷2=52 ед.²
Для второго случая:
Чтобы найти величину неизвестного основания ВС=10-2х=10-2·3=4
Тогда площадь такой трапеции S₂=BM·(BC+AD)÷2=4·(4+10)÷2=28 ед.²
ответ: если меньшее основание трапеции равно 10 , то S₁=52 ед.²;
если большее основание трапеции равно 10, то S₂=28 ед.²