Обозначим сторону квадрата 2x. Треугольник АВЕ - равнобедренный. Высота из вершины Е на сторону АВ делит АВ пополам. Точка Е равноудалена от точек А и В и лежит на серединном перпендикуляре к АВ, АВ || СD Поэтому точка Е равноудалена от точек С и D. СЕ=√13.
Обозначим высоту треугольника АВЕ у, тогда высота равнобедренного треугольника СDE будет равна (2x-y) По теореме Пифагора х²+у²=25 х²+(2х-у)²=13
Сектор - часть круга. Длина дуги сектора вычисляется по формуле: L=π*r*n/180°. В нашем случае n=90°, L=π*r/2. Заметим, что в этой формуле r = l - образующая конуса, а L - это длина окружности нашего конуса. Радиус окружности основания конуса находим поформуле: L=2π*R или в нашем случае π*r/2=2π*R, отсюда R=π*r/(2*2π)=r/4. Теперь рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами - образующей конуса и основанием - диаметром окружности основания конуса. Причем высота конуса SH - это и биссектриса и медиана этого треугольника. В прямоугольном треугольнике SHC синус угла HSC равен отношению противолежащего катета (R) к гипотенузе (l=r) или Sin(<HSC)=(r/4)/r=1/4. Заметим, что <HSC - это половина искомого угла при вершине конуса (так как SH - биссектриса). По формуле Sinα=2Sin(α/2)*Cos(α/2) найдем искомый угол α. Cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/16)=√15/4. Sinα=2*(1/4)*(√15/4)=√15/8. ответ: угол при вершине конуса равен arcsin(√15/8). α≈29°
Можно найти угол при вершине по теореме косинусов: Cosα=(a²+b²-c²)/2ab, где угол α - угол между сторонами a и b. В нашем случае a=b=r, c=2R=r/2. Тогда Cosα=(2r²-r²/4)/2r²=7r²/8r²=0,875. α=arccos0,875 или α≈29°.
S=πR²
1)R=2 , S=πR²=3.14×4=12.56
2)R=5, S=πR²=3.14×25=78.5
3)S=9, R= √S÷π=√9÷3.14≈√2.9≈1.7
4)R=2÷7, S=πR²=3.14×4÷49≈0.7
5)S=49π, R=√S÷π=√49π÷π=√49=7
6)R=54.3, S=πR²=3.14×2948.49≈9258
7)S=√3, R=√S÷π=√√3÷3.14≈√0.6≈0.8
8)R=6.25, S=πR²=3.14×39.0625=≈122.7