1. В прямоугольнике диагонали образуют треугольники, у которых углы при основании равны.
2. Угол BOC=AOD (как вертикальные); рассмотрим треугольник BOC: угол OBC=OCB, ВС=5 см. Т.к. в треугольнике сумма углов равна 180 градусам, то 180-60=120 гр, а 120:2=60 гр. Значит, OBC=OCB=60 гр., а треугольник BOC - равносторонний.
3. Треугольники BOC и AOD равны, т.к. угол BOC=AOD (как вертикальные), DAO=OCB=ADO=OBC (как внутренне накрест лежащие). BC=AD=BO=OC=AO=DO=5 см.
Значит, диагональ AC=DB (т.к. точка О середина пересечения диагоналей) = 10 см
ответ: AC=DB=10 cv
Окружность вписана в угол ACB, центр лежит на биссектрисе.
По теореме о биссектрисе
AC/BC =AO/BO =15/20 =3/4
По теореме Пифагора
AC=3x, BC=4x, AB=√(9x^2 +16x^2)=5x
Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
OKA=90, AOK~ABC (по двум углам)
OK/AO =BC/AB =4/5 => OK=15*4/5=12