В треугольнике ABC на стороне AC выбрана точка D так, что AB=AD. I — центр вписанной окружности треугольника ABC. На луче DI выбрана точка E такая, что луч BA является биссектрисой угла IBE. Биссектриса угла BEI пересекает прямую AI в точке F.
Выберите несколько точек, 3 из которых являются вершинами треугольника, а остальные — его центром (или центрами) вневписанной окружности (окружностей).
1. Рассмотрим треугольник ABC и точку D на стороне AC такую, что AB=AD. Обозначим M - середина стороны AC. Так как AB=AD, то теорема о серединах гласит, что MD параллельна BC и равна половине длины стороны BC.
2. Введем следующие обозначения для точек пересечения:
- T - точка пересечения луча AE и стороны BC.
- S - точка пересечения луча IC и стороны AB.
3. УТВЕРЖДЕНИЕ 1: T - точка касания вписанной окружности с стороной BC.
Обратимся к свойствам треугольника ABC. Согласно свойству 3, угол IBA равен половине вписанного угла A, то есть углу IBC. Тогда угол ACB также равен углу ABC, что означает, что треугольник ABC - равнобедренный. Следовательно, сторона AB равна стороне BC. Так как у нас имеется равенство AB=AD, то и сторона AD также равна стороне BC. Используя эту информацию, мы можем сказать, что MB = MD = MT.
Таким образом, получаем равенство MT = MD и следовательно, углы MTD и DMT равны. Значит, треугольник DTM - равнобедренный, и точка T является точкой касания вписанной окружности с стороной BC.
4. УТВЕРЖДЕНИЕ 2: Точки I, F и T лежат на одной прямой.
Обратимся к свойствам биссектрисы. Угол BEI делится пополам углом BET, а значит, угол IET тоже делится этой биссектрисой. Также, угол AEF делится пополам углом IET (так как они образуют биссектрису AI). Значит, точки I, F и T лежат на одной прямой.
5. УТВЕРЖДЕНИЕ 3: Середины отрезков IE и BC, а также точки I и T лежат на одной прямой.
Обратимся к свойству биссектрисы угла IBE. Она делит отрезок BE на две части, пропорциональные его длине. Значит, так как MF делит отрезок IE, то точки M, F и точка, делящая IE в отношении MF/FE = IM/BE (вспоминаем свойства биссектрисы), лежат на одной прямой.
Также по свойству 4 для треугольника ABC получаем, что точки M и T лежат на одной прямой.
Таким образом, мы получили следующий ответ:
- Вершины треугольника: A, B, C.
- Центр вписанной окружности: I.
- Центры вневписанных окружностей: S, M, T.
Ответ: A, B, C, I, S, M, T.