75 (единиц)
Объяснение:
Дано (см. рисунок):
Окружность с центром в точке О
Касательная АВ и длина отрезка АВ=40 (ед.)
Секущая АО и длина отрезка АО=85
Найти: R=OB.
Решение.
Один из свойств касательной:
Касательная АВ к окружности с центром в точке О перпендикулярна радиусу R, проведенному в точку касания В.
В силу этого треугольник AOB прямоугольный и:
∠B=90°, AO – гипотенуза, AB и OB катеты.
Для прямоугольного треугольника AOB верна теорема Пифагора:
AO² = OB² + AB².
Отсюда
OB² = AO² – AB² = 85² – 40² = 5625 = 75² или
OB = 75 (единиц).
Опустим из вершины С тупого угла высоту СН.
По свойству высоты равнобедренной трапеции, опущенной из вершины тупого угла, она делит основание на отрезки, бóльший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности.
Диагональ, высота и бóльший отрезок основания образуют прямоугольный треугольник АСН с углом САН=60°.
Т.к сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, ∠АСН=30°
Катет АН противолежит этому углу и по свойству такого катета равен половине гипотенузы.
Гипотенуза=диагональ = 4.
АН=4:2=2 см
АН – полусумма оснований, т.е. она равна средней линии трапеции, Это ответ.
Проведем среднюю линию трапеции MN и две высоты из тупых углов.
АН=АС:2=2 (найдено в первом варианте).
КР=1 – средняя линия ∆ АСН. ЕН=КР=1 ( КРНЕ - прямоугольник по построению).
Тогда АЕ=1, и МК=РN=0,5 – средняя линия равных ∆ АВЕ и СDH
МN=МК+KP+PN=2 см.