Question

Докажите, что внешний угол правильного многоугольника равен
его центральному углу.​

Answer 1

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для начала, чтобы было понятно, о чем идет речь, вспомним, что такое внешний угол и центральный угол.

Внешний угол многоугольника - это угол, образованный продолжением одной из его сторон и стороной, лежащей рядом с ней.

Центральный угол многоугольника - это угол, образованный двумя лучами, исходящими из центра многоугольника и проходящими через две его соседние вершины.

Теперь приступим к доказательству.

Предположим, что у нас есть правильный многоугольник с n сторонами. Пусть A будет одной из его вершин, а B и C - двумя соседними вершинами этого многоугольника.

Таким образом, у нас есть следующая ситуация:

C
/ \
/ \
/ \
/ \
/______\
B A

Изобразим внешний угол ABD и центральный угол ABC:

C
/ \
/ \
/ \
/ \
/______\
B A
\ /
\ /
\ /
\ /
\/

Нам нужно доказать, что эти два угла равны.

Для этого рассмотрим дугу BC и дугу BD. Дуга BC - это дуга между вершинами B и C многоугольника, а дуга BD - это дуга между вершинами B и D.

Так как наш многоугольник - правильный, все его стороны и углы равны. Это означает, что дуга BC равна дуге BD. Обозначим их длину как m.

Теперь рассмотрим дугу AC, она равна дуге AB, так как наш многоугольник - правильный. Обозначим их длину как n.

Из этих равенств мы можем сделать следующий вывод:

Дуга AC = Дуга AB = n
Дуга BC = Дуга BD = m

Теперь мы видим, что длины дуг AC и BC равны и равны n, а этим дугам соответствуют две стороны углов ACB и ABD.

Таким образом, у нас есть сторона ACB, равная n, и сторона ABD, равная n.

Значит, эти два угла, ACB и ABD, равны между собой.

Мы доказали, что внешний угол правильного многоугольника равен его центральному углу.