Тут хорошо бы рисунок, но попробую как-то словами.
1. Строится проекция вершины бокового ребра, противолежащего гипотенузе на полоскость основания.
2. Строятся проекции этой вершины НА КАТЕТЫ треугольника в основании (то есть из вершины в плоскости бокового ребра проводится перендикуляр к катету основания).
3. Если внимательно посмотреть на фигуру, вершинами которой являются эти три проекции, а также - вершина прямого угла основания, то это - прямоугольник, в котором проекция бокового ребра на основание - это диагональ.
(Вы должны рассмотреть плоскости, проходящие через перпендикуляр к катету из вершины этого ребра и высоту всей призмы, проведенной из этой же вершины. Поскольку обе прямые перпендикулярны катету в основании, то вся эта плоаскоть перпендикулярна катету, и отрезок, соединяющий проекцию вершины на основание с проекцией этой вершины на катет, тоже перпендекулярен катету - он тоже лежит в этой плоскости. Это справедливо для обеих проекция на катеты. Поэтому там прямоугольник.)
4. Проекции бокового ребра на катеты основания фактически заданы - они равны
p1 = 5*cos(60) [...60 градусов, конечно...] = 5/2;
p2 = 5*cos(45) = 5*√2/2;
5.Это стороны прямоугольника, а диагональ равна
p3 = √(p1^2 + p2^2) = (5/2)*√(2 + 1) = 5*√3/2; (уже видно, что бовокая сторона наклонена к основанию под углом в 30 градусов, но я сейчас получу высоту призмы напрямую)
6. Нам известна длина наклонной 5 и длина её проекции 5*√3/2; поэтому расстояние от вершины бокового ребра до плоскости основания равно 5/2 - по Т.П.
7. Обем призмы равен (8^2/2)*(5/2) = 80
Если обозначить за х длину отрезка от вершины меньшего основания до точки касания (все равно какой - на основании или на боковой стороне - они равны), то второй отрезок боковой стороны 4*х, вся боковая сторона 5*х, меньшее основание 2*х, большее 8*х.
Если опустить из вершины меньшего основания высоту на большее, то она отсечет на большом основании отрезок 3*х.
Поэтому высота трапеции - это второй катет в прямоугольном треугольнике, в котором гипотенуза равна 5*х, а первый катет 3*х. То есть она равна 4*х (получился "египетский" треугольник, то есть подобный треугольнику со стронами 3,4,5).
С другой стороны, высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть
4*х = 12;
x = 3.
Стороны трапеции такие - основания 6 и 24, боковая сторона 15.
Если провести теперь прямую через центр окружности и вершину меньшего основания, то получившийся треугольник имеет площадь, равную половине площади трапеции
Если через центр окружности провести еще вертикальный диаметр, то есть соединить точки касания оснований, то там получается два равных треугольника - между этим диаметром, проведенной прямой и двумя основаниями. Поэтому и получается, что площадь отсеченного треугольника равна половине площади трапеции.
Площадь трапеции равна (6 + 24)*12/2 = 180, площадь треугольника 90