В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали грани A₁B₁C₁D₁ пересекаются в точке O. Назовите линейный угол двугранного угла DA₁C₁D₁
––––––––––––––––––––––
Определение: Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.
Линейный угол-это угол образованный пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.
Все грани куба - квадраты. Их диагонали равны, пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.
Искомый угол - это угол DOD₁ между плоскостями А₁С₁D₁ и A₁C₁D, где D₁O ⊥ A₁C₁, как половина диагонали грани, а DО ⊥ А₁С₁ как наклонная, чья проекция перпендикулярна прямой ( т. о трех перпендикулярах). Плоскость DD₁O перпендикулярна граням двугранного угла.
В приложении с рисунком найдена и примерная величина этого угла ≈ 54,7°
1.Треугольник ABD = 1. Угол ВАD = CAD
2. BDA=CDA
треугольнику ADC
3.AD - общая сторона.
Второй признак равенства
треугольников
2.
Углы 1 и 2 вертикальные, значит они
равны, следовательно треугольники, по двум углам и стороне, равны. Исходя из этого, СD делиться попалам в точки О
3.
<АСО=<1 как вертикальные углы.
<BDO=<2 как вертикальные углы. Но
<1=<2, значит
<ACO=<BDO.
<AOC=<BOD как вертикальные углы.
Значит, треугольники АСО и BDO
равны по второму признаку: сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней
углам другого треугольника: - ОС=ОD по условию;
- <ACO=<BDO как доказано выше;
.<AOC=<BOD как доказано выше. У равных треугольников АСО и BDO равны соответственные углы А и В.
4.