Да, делит. Для этого нужно рассмотреть два треугольника, образованных средней линией и высотой. Пусть x - катет одного треугольника (маленького, являющегося частью большого), средняя линия равна z. Тогда катет большого треугольника, параллельный катету маленького, равен 2x. Маленький треугольник и большой подобны по 1 признаку (т.к. прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, параллельна и второй, прямые параллельны, т.к. средняя линия параллельна стороне треугольника). Из подобия следует, что коэффициент подобия равен 1:2 => средняя линия делит высоту на две равные части.
--- 1 --- ΔАВМ равнобедренный, т.к. в прямоугольном треугольнике медиана ВМ равна половине АМ гипотенузы АС ∠ВАМ = ∠АВМ = β --- 2 --- ΔАВС ~ ΔВСТ (~ - символ подобия) т.к. угол С у этих треугольников общий, и по одному прямому углу ∠АВС = ∠ВСТ = 90° ∠СВТ = ∠ВАС = β --- 3 --- Угол между медианой и высотой по условию равен острому углу треугольника ∠МВТ = ∠ВАС = β --- 4 --- ∠АВС = ∠АВМ + ∠ МВТ + ∠СВТ = 3β β = 30° Это угол А исходного треугольника --- 5 --- известен радиус вписанной окружности, надо найти гипотенузу АО = АД = x CO = CE = y ВД = ВЕ = r Теорема Пифагора (x+y)² = (x+r)² + (y+r)² и катет против угла в 30 градусов в 2 раза короче гипотенузы x + y = 2(r + y) x + y = 2r + 2y x = 2r + y (2r + y + y)² = (2r + y + r)² + (y+r)² (2r + 2y)² = (3r + y)² + (y+r)² 4r² + 8yr + 4y² = 9r² + 6yr + y² + y² + 2yr + r² 2y² = 6r² y² = 3r² y = r√3 (отрицательный корень отбросили) x = 2r + y = 2r + r√3 --- 6 --- Длина гипотенузы АС = x + y = 2r + r√3 + r√3 = 2r + 2r√3 Половина гипотенузы МС = АС/2 = r + r√3 ВТ - высота равнобедренного треугольника МВС, точка Т делит основание пополам. Расстояние между точками медианы М и высоты Т МТ = 1/2*МС = r(1 + √3)/2 РАсстояние между точкой высоты и вершиной А АТ = АМ + МТ = 3r(1 + √3)/2
