Самостоятельная работа 4.2
Прямоугольные треугольники
Вариант 1
А1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60о, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.
А2. На рисунке РО = ОМ, РКО =МТО = 90о. Докажите, что РК = МТ.
А3. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 12 см, проведена высота СН. Найдите ВН и НА, если А = 30о
A1. Для нахождения гипотенузы и меньшего катета нам понадобятся теоремы Пифагора и тригонометрии. Давайте начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60 градусов. Мы также знаем, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см.
Для начала, обозначим гипотенузу через "с" и меньший катет через "а". Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае это выглядит так:
с² = а² + (а + 18)²
Теперь нам нужно решить эту квадратную уравнение для определения гипотенузы.
После раскрытия скобок и сокращений мы получаем следующее уравнение:
с² = а² + а² + 36а + 324
После объединения подобных членов мы получаем:
с² = 2а² + 36а + 324
Для удобства, перенесем все члены в одну сторону уравнения:
2а² + 36а + 324 - с² = 0
Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, квадратного корня или формулы дискриминанта. Здесь мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:
D = (36²) - 4(2)(324 - с²)
D = 1296 - 2592 + 8с²
D = 8с² - 1296
Теперь, чтобы найти значения гипотенузы и меньшего катета, нам нужно найти корни этого уравнения. Если дискриминант D равен нулю, то у нас будет один корень. Если D больше нуля, то у нас будет два различных корня. Если D меньше нуля, то решений не будет.
Подставим значение D в формулу:
8с² - 1296 = 0
Из этого уравнения мы можем найти значение с. После нахождения с, мы можем найти значение меньшего катета, подставив его в исходное уравнение.
A2. Для доказательства того, что РК = МТ, нам нужно использовать теорему о равнобедренных треугольниках. Теорема гласит, что если у треугольника две равные стороны, то два угла, прилегающие к этим сторонам, также равны.
В нашем случае, РО = ОМ (по условию), РКО = МТО = 90 градусов (так как треугольник прямоугольный).
Таким образом, по теореме о равнобедренных треугольниках, РК = МТ. Доказано.
A3. У нас есть прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, равной 12 см, и углом А = 30 градусов. Мы должны найти ВН и НА.
Для начала давайте найдем катет СН (высоту) с помощью тригонометрии. Мы знаем, что тангенс угла А равен отношению противоположной стороны к прилежащей, или в нашем случае СН к СВ. То есть tan(A) = СН/СВ.
Поскольку СВ (гипотенуза) равна 12 см, тангенс угла 30 градусов равен СН/12.
Мы знаем, что tan(30°) = √3/3. Таким образом, мы получаем уравнение:
√3/3 = СН/12
Чтобы найти СН, умножим обе части уравнения на 12:
СН = (12 * √3)/3
Теперь, чтобы найти ВН и НА, нам нужно использовать теорему Пифагора и получить катеты треугольника.
ВН² + СН² = АВ²
Подставим значение СН:
ВН² + [(12 * √3)/3]² = 12²
Упростим:
ВН² + 48 = 144
Вычтем 48 из обеих сторон:
ВН² = 144 - 48
ВН² = 96
ВН = √96
ВН = 4√6 см
Теперь мы можем найти НА, используя теорему Пифагора:
НА² = 12² - ВН²
НА² = 144 - 96
НА² = 48
НА = √48
НА = 4√3 см
Таким образом, ВН = 4√6 см и НА = 4√3 см.