Пирамида правильная, следовательно, вершина S проецируется в центр О основания (квадрата АВСD), а все углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания, равны. Это двугранные углы, измеряемые линейным углом, получаемым при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). В нашем случае это угол SHO, образованный пересечением плоскостей основания и боковой грани плоскостью SOH, перпендикулярной основанию и боковому ребру (то есть перпендикулярной ребру АВ).
Тогда из прямоугольного треугольника SOH имеем:
SO = SH*Sinα = L*Sinα (высота пирамиды), а НО = L*Соsα.
Заметим, что НО - это половина стороны основания. Сторона равна 2*L*Соsα.
Т.к.периметры относятся как 7:5, то и стороны относятся как 7:5, т.к.треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Пусть АВ и А1В1 - меньшие стороны, тогда АВ/А1В1=х/(36-х)=7/5, это пропорция; 5х=7(36-х); 5х=36*7-7х; 12х=36*7 l:12; х=3*7; х=21см=АС; стороны относятся как 3:7:8, значит меньшая АС=3ч.(части); 1ч.=21/3= 7см; АВ=7ч.=49 см; ВС=8ч.=56 см; в тр-ке А1В1С1 меньшая сторона=3ч.=36-21=15 см; 1ч=5см; А1В1=7ч.=35 см; В1С1=8ч.=40см. ответ: тр-к АВС: 21см; 49см; 56см. тр-к А1В1С1: 15см; 35см; 40см. Проверка: Равс=126см; Ра1в1с1=90см; 126/90=7/5; все верно.
Пирамида правильная, следовательно, вершина S проецируется в центр О основания (квадрата АВСD), а все углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания, равны. Это двугранные углы, измеряемые линейным углом, получаемым при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). В нашем случае это угол SHO, образованный пересечением плоскостей основания и боковой грани плоскостью SOH, перпендикулярной основанию и боковому ребру (то есть перпендикулярной ребру АВ).
Тогда из прямоугольного треугольника SOH имеем:
SO = SH*Sinα = L*Sinα (высота пирамиды), а НО = L*Соsα.
Заметим, что НО - это половина стороны основания. Сторона равна 2*L*Соsα.
Тогда площадь основания So = 4*L²*Соs²α.
Объем пирамиды равен (1/3)*So*SO = (1/3)*4*L²*Соs²α*L*Sinα.
V = (4/3)*L³*Соs²α*Sinα = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α (так как
2Sinα*Cosα = Sin2α).
ответ: V = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α.