Две стороны треугольника равны 8 см и 5 см, а отношение радиуса окружности описанной около треугольника к третьей стороне равна 1: корень из 3 найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача ?
a =8 см ; b = 4 см ; R/c = 1/√3 . || c - ?
ответ: c =7 см или с =√129 см . два решения
Объяснение: ! Теорема синусов: a/sin∠A =b/sin∠B = c/sin∠C = 2R
R/c = 1/√3 ⇒ c / (√3/2) =2R sin∠C =√3/2 ⇒∠C =60° или ∠C =120° * * * sin120° =sin(180°-60°) = sin60° =√3/2 * * *
* * * cos120° =cos(180°-60°) = - cos60° = - 1/2 * * *
Известны стороны a= 8 дм , b=4 дм и угол между ними ∠С ( треугольник определен_1 -ый признак ) Неизвестную сторону треугольника можно рассчитать по теореме косинусов.
* * * Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними * * *
с² =a² + b²- 2abcos∠С
а) ∠С =60° cos∠С = cos60° = 1/2
с² =8² + 5² -2*8*5*1/2 = 49 c =7 (см)
б) ∠С =60 сos∠С = cos60° = - 1/2
с² =8² + 5² -2*8*5*(-1/2) = 129 с =√129 (см)
Окружности:
центр A, радиус 2
центр B, радиус 5
центр C, радиус x
AB=10
Точка касания двух окружностей лежит на линии центров.
Если окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме радиусов.
Если окружности касаются внутренним образом, расстояние между центрами равно разности радиусов.
1) Окружность C касается окружности A внутренним образом, а окружности B внешним образом.
AC = |x-2|
BC =x+5
Для трех точек действует неравенство треугольника (ACB). Причем нас устраивает вырожденный треугольник (когда С лежит на AB), поэтому неравенство нестрогое.
AC+BC >= AB
Если x<2, то |x-2|=2-x
Тогда 2-x+x+5 >= 10 <=> 7>=10, противоречие
Следовательно x>=2 и |x-2|=x-2
x-2+x+5 >= 10
x >= (10+2-5)/2
x >= 3,5
2) Окружность C касается окружности A внешним образом, а окружности B внутренним образом.
AC =x+2
BC = |x-5|
Аналогично
x+2+x-5 >= 10
x >= 6,5
Таким образом радиус третьей окружности в любом случае не меньше 3,5.