Даны вершины треугольника: А(-4;1), В(4;2), С(-2;-2).
Задачу можно решить двумя
1 - геометрическим по теореме косинусов, найдя длины сторон,
2 - векторным.
Вектор АВ = (4-(-4); 2-1) = (8; 1). Модуль (длина) равен √(64 + 1) = √65.
Вектор АС = (-2-(-4); -2-1) = (2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.
cos A = (8*2 + 1*(-3))/(√65*√13) = 13/(13√5) = 1/√5 = √5/5.
Вектор BA = -AB = (-8; -1). Модуль (длина) равен √(64 + 1) = √65.
Вектор BC = (-2-4); -2-2) = (-6; -4). Модуль равен √(36 + 16) = √52.
cos B = (-8*-6 + -1*(-4))/(√65*√52) = 52/(26√5) = 2/√5 = 2√5/5.
Вектор CА = -AC = (-2; 3). Модуль (длина) равен √(4 + 9) = √13.
Вектор CB = -BC = (6; 4). Модуль равен √(36 + 16) = √52.
cos C = (-2*6 + 3*4)/(√13*√52) = 0/(2*13) = 0.
Угол С прямой. Это также видно по сумме квадратов сторон: 13+52 = 65.
Опустим высоты BH1 и CH2. H1H2 = BC = O1O2 = 4, так как BCH2H1, BCO2O1 — прямоугольники. Пусть AH1 = k, тогда H2D = AD - AH1 - H1H2 = 1 - k.
Рассмотрим треугольники AH1B и EO1B: углы H1 и O1, A и E равны как соответственные — треугольники подобны по I признаку. Коэффициент подобия равен 1 : (1 + 3) = 1 : 4. Тогда EO1 = k / 4. Аналогично рассуждая, получим O2F = (1 - k) / 4.
EF = EO1 + O1O2 + O2F = k / 4 + 4 + (1 - k) / 4 = (k + 1 - k) / 4 + 4 = 1 / 4 + 4 = 4,25.
ответ: 4,25