ЗАДАЧА 1.
Опустим в тр-ке АВС из т.В на сторону АС высоту ВР. Получим два прямоугольных тр-ка АВР (Р-прямой, угол А равен 30 градусов) и ВРС (угол Р - прямой и угол С равен 45 градусов, (т.к. 180-(30+105)=45).
Рассмотрим тр-к АВР: ВР - катет,лежащий против угла 30 градусов, значит ВР=0,5АВ=4 (см).
Рассмотрим тр-к ВРС: угол РВС=90-45=45 градусов=углу ВСР, значит тр-к равнобедренный и СР=ВР=4. По теореме Пифагора: ВС^2=BP^2+PC^2=2*BP^2=32, BC=sqrt(32)=4*sqrt(2)
Меньшая сторона лежит против меньшего угла. Это сторона ВС (угол С - наименьший)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то треугольники равны.
Доказательство:
Рассмотрим трекгольники АВС и А1В1С1, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1, углы А и А1 равны. Докажем, что треугольник АВС=трекгольнику А1В1С1.
Так как ∟А=∟А1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложаться соответственно на лучи А1В1 и А1С1. Поскольку АВ=А1В1, АС=А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1, а сторона АС - со стороной А1С1; в частности совместятся точки В и В1, С и С1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, ∆АВС и ∆А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.