Question

В прямоугольном треугольнике abc угол С прямой,угол b вдвое меньше угла А. Катет АС продолжили за вершину А на отрезок АР так,что АР=АВ. Найдите АС,если АР=30 см

Answer 1

Воспользуемся свойством суммы углов треугольника: сумма всех углов треугольника равна 180 градусам.

Угол b вдвое меньше угла А, значит, угол b = (1/2) * А.

Угол b и угол с являются смежными углами и, следовательно, их сумма равна 180 градусам.

Таким образом, угол А + угол b + угол с = 180°.

Подставляем значения углов:

А + (1/2) * А + 90° = 180°.

Упростим уравнение:

(3/2) * А + 90° = 180°.

Вычтем 90° из обеих частей уравнения:

(3/2) * А = 90°.

Теперь найдем значение угла А:

(3/2) * А = 90°.

Так как А нужно найти, умножим обе части уравнения на 2/3:

А = (2/3) * 90°.

А = 60°.

Теперь можем найти значение угла b:

b = (1/2) * А = (1/2) * 60° = 30°.

Заметим, что теперь угол b стал равным 30°, а угол с равен 90°.



Так как С – прямой угол, он равен 90°, а значит, треугольник abc – прямоугольный.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В нашем случае гипотенузой является отрезок АС, а катетами – отрезки АР и РС.

То есть АР^2 + РС^2 = АС^2.

Мы знаем, что АР = 30 см, значит, АР^2 = 30^2 = 900.

Подставляем значение АР^2 в уравнение:

900 + РС^2 = АС^2.

Так как АР = АВ, АВ также равно 30 см.

Следовательно, РС = АВ - ВС = 30 - ВС.

Подставляем значение РС в уравнение:

900 + (30 - ВС)^2 = АС^2.

Упрощаем уравнение:

900 + 900 - 60ВС + ВС^2 = АС^2.

1800 - 60ВС + ВС^2 = АС^2.

Теперь нам нужно найти значение АС. Для этого воспользуемся информацией о том, что АР = 30 см.

Так как АВ = АР, значит, ВС = АР = 30 см.

Подставляем значение ВС в уравнение:

1800 - 60 * 30 + 30^2 = АС^2.

Решаем уравнение:

1800 - 1800 + 900 = АС^2.

900 = АС^2.

Теперь найдем значение АС:

АС = √900.

АС = 30 см.

Итак, ответ: АС равно 30 см.