Вариант №2 Точка Р равноудалена от вершин правильного треугольника АВС, сторона которого равна 6. Расстояние от точки Р до плоскости треугольника равно 2. Найти: а) PВ; б) угол наклона отрезка АВ к плоскости треугольника АВС:
в) расстояние от точки Р до прямой AC г) угол между плоскостью АPС и плоскостью АВС.
а) Для нахождения точки PВ, нам нужно найти расстояние от точки P до вершины В. Так как Р равноудалена от всех вершин треугольника, то это расстояние будет равно расстоянию от точки Р до вершины А (ПВ = ПА). Из условия задачи известно, что расстояние от точки Р до плоскости треугольника равно 2. Так как треугольник АВС - правильный, то его высота равностороннего треугольника равна h = √3/2 * a, где а - длина стороны треугольника. Подставляя значения, получаем h = √3/2 * 6 = 3√3. Теперь мы знаем точку Р, высоту и треугольник АВС. Чтобы найти ПВ, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника РВА. Пусть ПА = x (так как ПВ = ПА), тогда РВ = √(x^2 + h^2). Подставляя значения, получаем ПВ = √(x^2 + (3√3)^2). Так как мы знаем, что ПВ = ПА и ПА = ПС = 6, то можем записать уравнение x = 6. Теперь можем подставить это значение в формулу для ПВ: ПВ = √(6^2 + (3√3)^2) = √(36 + 27) = √63 = 3√7.
б) Чтобы найти угол наклона отрезка АВ к плоскости треугольника АВС, нам нужно найти косинус угла между нормалью плоскости треугольника и направляющим вектором отрезка АВ. Нормаль плоскости можно получить, найдя векторное произведение векторов AB и AC (n = AB x AC). Найдем векторное произведение:
AB = В - А = (0, 6) - (0, 0) = (0, 6)
AC = C - A = (6, 0) - (0, 0) = (6, 0)
n = AB x AC = (0, 6) x (6, 0) = 0i + 0j + 36k
Теперь найдем значение направляющего вектора АВ. Для этого вычтем координаты точки А из координат точки В:
В - А = (0, 6) - (0, 0) = (0, 6)
Так как мы знаем, что косинус угла между векторами a и b равен их скалярному произведению, деленному на произведение их длин, можем записать:
cos(θ) = (АВ * n) / (|АВ| * |n|),
где АВ * n - скалярное произведение векторов АВ и n, |АВ| - длина вектора АВ, |n| - длина вектора n. Подставляем значения:
cos(θ) = ((0, 6) * (0i + 0j + 36k)) / (|(0, 6)| * |(0i + 0j + 36k)|) = (0*0 + 6*0 + 0*36) / (6 * √(0^2 + 6^2 + 0^2)) = 0 / (6 * 6) = 0.
Таким образом, угол наклона отрезка АВ к плоскости треугольника АВС равен 0, то есть отрезок АВ лежит в этой плоскости.
в) Чтобы найти расстояние от точки Р до прямой AC, нам нужно построить высоту треугольника ПАС, опущенную из точки Р на прямую AC, и найти длину этой высоты. Так как треугольник АВС - правильный, то высота треугольника ПАС будет равна высоте треугольника АВС (h = 3√3). Теперь, зная высоту и одну сторону прямоугольного треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения второй стороны (расстояние от точки Р до прямой AC), используя формулу d = √(h^2 - a^2), где d - расстояние, h - высота, a - одна из сторон треугольника. Подставим значения и найдем расстояние от точки Р до прямой AC: d = √((3√3)^2 - 6^2) = √(27 - 36) = √(-9).
Здесь мы получили отрицательное число под корнем, что означает, что от точки Р до прямой AC нет расстояния, так как эта точка находится выше плоскости треугольника.
г) Чтобы найти угол между плоскостью АPС и плоскостью АВС, нам нужно найти косинус угла между нормалями этих плоскостей. Нормаль плоскости АВС мы уже нашли в предыдущем задании и это вектор n = 0i + 0j + 36k. Чтобы найти нормаль плоскости АPС, нам нужно найти векторное произведение векторов AC и АP (n' = AC x АP). Найдем векторное произведение:
AC = C - A = (6, 0) - (0, 0) = (6, 0)
АP = P - A
Пока мы не знаем точные координаты точки P, поэтому нормаль плоскости АPС мы посчитать не можем.