Question

В треугольнике ABC, где ∠С = 90°, проведена медиана CM. Найдите косинус угла CBM,
если CM = 6,4 и CB = 10,24. Впишите ответ в виде десятичной дроби.

Answer 1

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово.

1. Нам дан треугольник ABC, в котором ∠C = 90°. Это означает, что C является прямым углом.

2. Мы знаем, что медиана CM проведена из вершины C к середине стороны AB. По определению медианы, она делит сторону AB на две равные части. Пусть точка M - середина стороны AB.

3. Если CM - медиана, то она также является высотой, так как выпущена из прямого угла. Это означает, что треугольник CBM является прямоугольным треугольником.

4. Дано, что CM = 6,4 и CB = 10,24. Заметим, что треугольник CMB является прямоугольным, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения оставшейся стороны треугольника.

5. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (в данном случае CB) равен сумме квадратов катетов (в данном случае CM и MB):
CB² = CM² + MB²

6. Мы уже знаем, что CM = 6,4 и CB = 10,24. Заметим, что MB - половина стороны AB, так как M - середина стороны AB.

7. Мы можем найти MB, используя следующее равенство:
MB = AB / 2

8. Заметим, что AB = 2 * CM, так как CM делит сторону AB на две равные части.
AB = 2 * 6,4 = 12,8

9. Подставим значения CM и AB в равенство MB = AB / 2:
MB = 12,8 / 2 = 6,4

10. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора:
CB² = CM² + MB²
CB² = 6,4² + 6,4²
CB² = 40,96 + 40,96
CB² = 81,92

11. Найдем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
CB = √81,92
CB ≈ 9,05

12. Теперь мы можем найти косинус угла CBM, используя определение косинуса:
cos(CBM) = adjacent /hypotenuse
где adjacent - это сторона, прилегающая к углу CBM, а hypotenuse - это гипотенуза.

13. В нашем случае adjacent это MB, а hypotenuse это CB:
cos(CBM) = MB / CB
cos(CBM) = 6,4 / 9,05
cos(CBM) ≈ 0,707

Итак, косинус угла CBM примерно равен 0,707, что является ответом на задачу.