Question

В основании пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Высота пирамиды проходит через точку A, SH —высота треугольника BSC. Известно, что BC =2AD,

AB= AD=2SA.

а) Докажите, что SH =CD.

б) Найдите косинус угла между прямыми CD и SH.

Answer 1

Добрый день! Давайте рассмотрим поставленную задачу по шагам:

а) Для доказательства того, что SH=CD, нам необходимо использовать свойства равнобедренной трапеции ABCD.

1) В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC равны, как указано в условии.
2) Из условия также известно, что BC=2AD (поэтому равные стороны трапеции равны 2AD и AD соответственно).
3) Также известно, что AB = AD = 2SA.

Давайте рассмотрим треугольники SAB и ABC:

В треугольнике SAB:
- Сторона AB равна 2SA
- Сторона SB равна SA
- Сторона SA равна SA

В треугольнике ABC:
- Сторона AB равна 2SA (так как равна стороне AD)
- Сторона BC равна 2AD (по условию)
- Сторона CA равна AD

Поскольку у нас есть стороны треугольников SAB и ABC, равные между собой, а также равные основания трапеции ABCD, мы можем сделать вывод, что треугольники SAB и ABC равны по сторонам SSA.

Теперь давайте рассмотрим треугольники SBC и SCD:

В треугольнике SBC:
- Сторона SB равна SA
- Сторона BC равна 2AD (по условию)
- Сторона SC равна SH (по условию)

В треугольнике SCD:
- Сторона SC равна SH (по условию)
- Сторона CD равна AD (так как является равнобедренной трапецией ABCD)

Из равенства сторон треугольников SBC и SCD мы можем сделать вывод, что SH = CD, что и требовалось доказать.

б) Чтобы найти косинус угла между прямыми CD и SH, мы можем воспользоваться формулой косинусов.

У нас уже есть стороны треугольника SCD: SH и CD, а также сторона SC (равная SH) и угол между прямыми SC и SH, который равен 90 градусов (так как SH является высотой треугольника BSC).

Формула косинусов:
cos(угол между прямыми CD и SH) = (SH^2 + CD^2 - SC^2) / (2 * SH * CD)

Подставим известные значения:
cos(угла между прямыми CD и SH) = (SH^2 + CD^2 - SH^2) / (2 * SH * CD) = CD^2 / (2 * SH * CD) = 1 / (2 * SH)

Таким образом, косинус угла между CD и SH равен 1 / (2 * SH).

Надеюсь, что эти пояснения были понятны и помогли вам разобраться в данной задаче!