Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм зі сторонами 3 і 4 м .Одна з діагоналей паралелепіпеда дорівнює 5 м , а інша 7м , знайдіть об’єм паралелепіпеда . С рисунком ( решением на листочке
Сектор - часть круга. Длина дуги сектора вычисляется по формуле: L=π*r*n/180°. В нашем случае n=120°, L=π*r(2/3). Заметим, что в этой формуле r = l - образующая конуса, а L - это длина окружности нашего конуса. Радиус окружности основания конуса находим по формуле: L=2π*R или в нашем случае π*r*(2/3)=2π*R, отсюда R=π*r*2/(3*2π)=r/3. Теперь рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами - образующей конуса и основанием - диаметром окружности основания конуса. Причем высота конуса SH - это и биссектриса и медиана этого треугольника. В прямоугольном треугольнике SHC синус угла HSC равен отношению противолежащего катета (R) к гипотенузе (l=r) или Sin(<HSC)=(r/3)/r=1/3. Заметим, что <HSC - это половина искомого угла при вершине конуса (так как SH - биссектриса). По формуле Sinα=2Sin(α/2)*Cos(α/2) найдем искомый угол α. Cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/9)=√8/3. Sinα=2*(1/3)*(√8/3)=2√8/9. ответ: угол при вершине конуса равен arcsin(4√2/9). α≈39°
Угол при вершине осевого сечения конуса можно найти по теореме косинусов: Cosα=(a²+b²-c²)2ab, где α - угол между сторонами a и b треугольника. Тогда Cosα=(2r²-(4/9)r²)/2r² = 14/18=7/9≈0,777. α=arccos0,777 или α≈39°.
Решение на листочке, во вложении)