Проверим квадраты сторон треугольника АВС:
AB=5, BC=12, AC=13.
5² +12² = 25 + 144 = 169,
13² = 169. Треугольник АВС - прямоугольный, угол АВС - прямой.
Поэтому треугольник АМС лежит в вертикальной плоскости.
Проверим квадраты сторон треугольника ВМС:
ВМ=15, BC=12, МC=9.
9² +12² = 81 + 144 = 225,
15² = 225. Треугольник ВМС - прямоугольный, угол ВМС - прямой.
Угол α между плоскостями треугольника ABC и прямоугольника ABMN соответствует плоскому углу МВС.
α = arc sin(MC/BM) = arc sin(9/15) = arc sin(3/5) = 0,643501 радиан = 36,8699°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АДД1, у которого угол Д прямой, а угол А = 600, тогда угол Д1 = 180 – 90 – 60 = 300.
Катет АД лежит против угла 300, а значит равен половине гипотенузы АД1. АД = АД1 / 2 = 10 / 2 = 5 см.
Из этого же треугольника определим катет ДД1, который есть высота параллелепипеда.
SinA = ДД1 / АД1.
ДД1 = АД1 * SinA = 10 * √3 / 2 = 5 * √3.
По условию, площадь основания равна 12 см, АВ * ВД = 12 см, тогда АВ = 12 / ВД.
Пусть длина ВД = Х см, тогда АВ = 12 / Х.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВД ,по теореме Пифагора АД2 = АВ2 + ВД2.
52 = (12 / Х)2 + Х2.
25 = (144 + Х4) / Х2.
Х4 – 25 * Х2 + 144 = 0.
Пусть Х2 = У, тогда:
У2 – 25 * У + 144 = 0.
Решим квадратное уравнение.
D = b2 – 4 * a * c = (-25)2 – 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49.
У1 = (25 - √49) / (2 * 1) = (25 – 7) / 2 = 18 / 2 = 9.
У2 = (25 + √49) / (2 * 1) = (25 + 7) / 2 = 32 / 2 = 16.
Тогда Х1 = √9 = 3, Х2 = √16 = 4.
Стороны основания равны 3 и 4 см.
Определим периметр основания Р = 2 * (3 + 4) = 14 см.
Тогда площадь боковой поверхности равна:
Sбок = Р * ДД1 = 14 * 5 * √3 = 70 * √3 см2.
ответ: Sбок = 70 * √3 см2.