Нам дана окружность № 1, радиус ее 12 см. Найдем длину окружности № 1: L1 = 2П(R1) = 2П12 = 24П. Эту окружность разогнули в дугу с центральным углом в 135 градусов. То есть, если эту дугу дорисовать до окружности, то получится новая окружность № 2. Чтобы найти радиус этой новой окружности найдем длину дуги окружности, которая приходится на один градус этой окружности № 2 и умножим на 360 градусов. Получаем длину окружности № 2: L 2 = (24П/135) * 360 = 64П. Теперь мы знаем длину окружности № 2 и знаем формулу длины окружности, следовательно можем найти радиус окружности № 2. L 2 = 2П (R2); R2 = (L 2) / 2П; R2 = 64П / 2П = 32 ед. Рассмотрим треугольник в окружности № 2, образованный радиусами и хордой, стягиваемой дугой. По теореме косинусов имеем: (хорда2)^2 = (радиус)^2 + (радиус)^2 - 2*радиус*радиус*Cos(135); (хорда2) = корень из [2*радиус^2 - 2*радиус^2*Cos(3П/4)]; (хорда2) = корень из [2*радиус^2 *(1- Cos(3П/4)]; (хорда2) = корень из [2*32^2 *(1+ [корень из 2] / 2)]; хорда2 = 32 корень из (2 + корень из 2).
Раз призма правильная и раз в шар она вписана, то центр шара соответствует среедине высоты призмы. То есть основания призмы находятся на расстоянии полвысоты от центра шара. Значит, основания призмы вписаны в окружность, разиус которой легко выразить через высоту призмы и радиус шара. С другой стороны, основания правильной призмы - равносторонний треугольник. И радиус описанной вокруг него окружности легко выразить через сторону этого треугольника. Вот так и получается два уравнения, из которых постепенно можно найти высоту призмы.
