1) Известно, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов. Последовательно вычитаем из 180 21 и ли 49 и находим больший угол. 2) В правильном многоугольнике углы и стороны равны. В правильном многоугольнике, вписанном в окружность углы лежат на окружности, следовательно отрезки соединяющие углы с центром окружности будут радиусы. Все проведенные радиусы к углам правильного многоугольника, деля его на равнобедренные треугольники, одновременно деля углы пополам. Следовательно углы при основании этих треугольников будут равны 70 гр. Следовательно углы при вершине этих треугольников будут равны 180-70-70=40 гр. Их общая сумма равна 360 гр. Отсюда 360:40=9 сторон.
1. Острый угол меньше 90°. Сумма смежных углов равна 180°, значит смежный с острым угол будет больше 90°, т.е. тупой.
ответ: в)
2. ∠1 - искомый, ∠2 и ∠3 - смежные с ним. Так как сумма смежных углов равна 180°, то
∠1 + ∠2 = 180° и ∠1 + ∠3 = 180°, значит ∠2 = ∠3 = 210°/2 = 105°.
∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 105° = 75°
3. Полный угол составляет 360°, острый угол меньше 90°. Пусть n - количество углов с вершиной в одной точке.
360° / n < 90°
4 / n < 1
n > 4, т. е. 5 лучей можно провести.
4. Пусть 6 см - основание треугольника, тогда сумма боковых сторон:
18 - 6 = 12 см, а так как боковые стороны равны, то каждая равна 6 см.
Если 6 см - боковая сторона, то приходим к тому же результату:
18 - 6 · 2 = 18 - 12 = 6 см.
ответ: треугольник равносторонний со стороной 6 см.
5. ∠1 и ∠2 - внутренние односторонние при пересечении прямых m и n секущей а, так как их сумма равна 180° (135° + 45° = 180°), то прямы параллельны.
ответ: б)
6. ∠1 + ∠2 < ∠3
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, значит ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3.
Подставим в первое неравенство:
180° - ∠3 < ∠3
2∠3 > 180°
∠3 > 90°
Значит треугольник тупоугольный.
ответ: в)
7. Пусть х - меньший угол, тогда 2х - больший. Сумма углов треугольника 180°:
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
x = 45°
Углы треугольника 45°, 45° и 90°.
ответ: 2) прямоугольный, 3) равнобедренный.
8. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Этому условию удовлетворяют только тройки чисел: 2, 3, 4 и 3, 4, 5.
ответ: 2 треугольника.
Часть В.
1. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
АВ + AD = Pabd - BD = 18 - 5 = 13 см
BC = AB, CD = AD,⇒
Pabc = 2(AB + AD) = 2 · 13 = 26 см
2. АМ = МС = АС/2 = 12/2 = 6 см, так как ВМ медиана.
В ΔАВМ АО - биссектриса и высота, значит ΔАВМ равнобедренный,
АВ = АМ = 6 см.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:
∠А + ∠В = 90°, тогда сумма их половин в два раза меньше:
∠1 + ∠2 = 45°.
В ΔАОВ: ∠АОВ = 180° - (∠1 + ∠2) = 180°- 45° = 135°
4. Все углы равностороннего треугольника равны 60°, тогда
∠DAC = ∠DCA= 60° - 15° = 45°.
ΔADC: ∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - 90° = 90°
5. Неточность в условии:
Биссектрисы AD и BE треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол С треугольника, если ∠АОЕ = 50°.
∠АОЕ - внешний угол треугольника АОВ, значит равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:
∠АОЕ = ∠1 + ∠2 = 50°
Так как AD и ВЕ биссектрисы, то сумма углов А и В треугольника АВС будет в два раза больше:
∠А + ∠В = 2∠АОЕ = 2 · 50° = 100°.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то
∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - 100° = 80°
6. ∠ОАС = ∠ОСА, ⇒⇒ΔОАС - равнобедренный, тогда медиана BD является и высотой, значит и ΔАВС тоже равнобедренный.
Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.
OD⊥AC,⇒ ОС = 5 см.
Проведем ОЕ⊥АВ и OF⊥ВС. ОЕ = 8 см по условию.
Но BD и биссектриса равнобедренного треугольника АВС, а все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, значит
OF = OE = 8 см