Решение: Пусть АBCD – данный ромб, угол А=угол С=L.
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами
S=AB^2 *sin A
S=a^2* sin L
Полупериметр робма равен полусумме сторон ромба
p=4*a\2=2*a
Площадь ромба равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности
S=p*r
Откуда
r=S\p= a^2* sin L \ (2*a)=a\2* sin L
Пусть X, Y – точки касания вписанной в ромб окружности со сторонами AB и AD соответсвенно , пусть H – точка пересечения, прямой FG, перпендикулярной к диагонали АС, вторая окружность касается сторон AB и AD и соприкасается с первой окружностью в точке H, значит вторая окружность – окружность вписанная в треугольник AFG.
Угол B=угол D=180 – угол А=180-L
Диагональ АС ромба равна по теореме косинусов
AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos B=
=a^2+a^2-2*a*a*cos (180-L)=2*a^2* (1+cos L)
AC=корень(2*a^2* (1+cos L))=2*а*|cos L\2|=2*a*cos (L\2)
(воспользовались формулой понижения квадрата косинуса)
Пусть О – центр вписанной в ромб окружности
Диагонали ромба пересекаються и в точке пересечения делятся пополам, причем точка пересечения является центром вписанной в ромб окружности(свойство ромба)
Значит АО=1\2*АС=1\2*2*a*cos (L\2)= a*cos (L\2)
Далее AH=AO-OH= a*cos (L\2) -a\2* sin L=a*cos (L\2)*(1-sin(L\2))
AF=AH\cos (A\2)= a*cos (L\2)*(1-sin(L\2)) \cos (L\2)=
= a*(1-sin(L\2))
FH=AH*tg (A\2)= a*cos (L\2)*(1-sin(L\2))*tg (L\2)= a*sin (L\2)*(1-sin(L\2))
FG=2*FH=2* a*sin (L\2)*(1-sin(L\2))
Треугольники AFH и AGH равны как прямоугольные за катетом и острым углом(угол FAH=угол GAH – диагональ ромба есть его биссектриссой – свойство ромба, AH=AH,
Прямая FG касательная к первой окружности, значит перпендикулярная к АС, отсюда углы FHA и GHA прямые).
Из равенства треугольников получаем AF=AG
Площадь треугольника равна произведению половины основания на висоту
Площадь треугольника AFH :
S (AFG)=FH*AH= a*sin (L\2)*(1-sin(L\2))* a*cos (L\2)*(1-sin(L\2))=
1\2*a^2 *sin L *(1-sin(L\2))*^2
Полупериметр треугольника равен
p (AFG)= (AF+FG+AG)\2=( a*(1-sin(L\2))+ a*(1-sin(L\2))+ 2* a*sin (L\2)*(1-sin(L\2)))\2=
a*(1-sin(L\2))+ a*sin (L\2)*(1-sin(L\2))= a*(1-sin(L\2))*(1+sin(L\2))=
a*(1-sin^2 (L\2))=a*cos^2 (L\2)
Радиус вписанной окружности в треугольник равен площадь\полуперимтер,
Радиус равен 1\2*a^2 *sin L *(1-sin(L\2))*^2 \( a*cos^2 (L\2))=
=a*tg (L\2)*(1-sin(L\2))^2
ответ: a*tg (L\2)*(1-sin(L\2))^2
Обозначим трапецию как АВСД, где ВС-меньшее основание, а АД-большее основание. Проведем в ней две высоты ВК и СН.
По условию ВС=2, а угол В=120*. В четырехугольнике сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180*, значит угол А=60* и угол Д=60*(т.к. трапеция равнобедренная по условию). Треугольники АВК и СНД равны по гипотенузе и катету (АВ=СД по условию, ВК=СН-как высоты). Угол АВК=30*, значит АК=1/2АВ(по свойству угла в 30*). КВСН-прямоугольник, значит ВС=КН=2. Пусть АВ=х, тогда СД-тоже равно х, АК=НД=х/2.
(Далее: напомню в 8 классе было свойство которое говорило, что: если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон четырехугольника равны), значит имеем:
х+х=2+2+х/2+х/2,
2х=4+х,
х=4.
Значит: АД=6
Площадь трпеции вычисляется по формуле: 1/2(ВС+АД)ВК.
Найдем ВК по теореме Пифагора: ВК=(АВ в квадр.-АК в квадр.) и все под корнем, получим, что ВК=2 корень из 3.
Значит площадь равна: 1/2(2+6)*2 корень из 3=8 корень из 3.