1. АВСD - квадрат. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и точкой пересечения О1 делятся пополам. Следовательно, прямая ОО1 - перпендикулярна АС по теореме о трех перпендикулярах, так как ВО (перпендикулярная АС) - проекция наклонной ОО1. Тогда треугольник АОС - равнобедренный (ОО1 - высота, медиана и биссектриса), АО=ОС и КТ - его средняя линия (так как ВВ1=В1О - дано) => АК=ТС => четырехугольник АКТС - равнобедренная трапеция. Что и требовалось доказать.
2. Средняя линия трапеции - полусумма ее оснований. АС=2√2см (диагональ квадрата со стороной = 2см), а КТ=√2 (по Пифагору, так как треугольник КВ1Т - прямоугольный, равнобедренный, с катетами = 1). Тогда средняя линия трапеции равна 1,5*√2 см.
Значит, РС+AD=2·15
РС+25=30
РС=5
ВС=ВР+РС
25=ВР+5
ВР=25-5=20
∠PAD=∠BPA - внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АР.
∠ВАР=∠РАD - биссектриса АР делит угол А пополам.
Значит ∠BPA =∠ВАР и треугольник АВР - равнобедренный АВ=ВР=20
Противоположные стороны параллелограмма равны CD=AB=20
Из треугольника АСD по теореме косинусов:
АС²=AD²+DC²-2·AD·DC·cos ∠D
(5√46)²=25²+20²-2·25·20·cos ∠D
1150=625+400-1000·cos ∠D
cos ∠D =-0,125
Противоположные углы параллелограмма равны
∠В=∠D
Из треугольника АBP по теореме косинусов:
АP²=AB²+BP²-2·AB·BP·cos ∠B
АP²=20²+20²-2·20·20·(-0,125)
АP²=400+400+100
АP²=900
AP=30
Р( трапеции АРСD)= АР+РС+СD+AD=30+5+20+25=80
ответ. Р=80