Во первых, ошибка в условии. Треугольник АВС равнобедренный с тупым углом В, значит АВ=ВС=ВВ1. Угол между прямыми В1С и АВ - это угол между скрещивающимися прямыми, так как АВ и В1С - прямые, не лежащие в одной плоскости. Определение: Скрещивающиеся прямые - это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Определение: Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Проводим через точку С прямую, параллельную прямой АВ. Опустим на эту прямую перпендикуляр ВН. Тогда искомый угол - угол ВСН, косинус которого равен Cosα=CH/B1C. B1C - это гипотенуза прямоугольного треугольника ВВ1С, катеты которого равны (ВВ1=ВС дано). Тогда В1с=а√2, а НС - это катет прямоугольного треугольника ВНС, лежащего против угла <HBC=30° (так как <HBC=<ABC-<ABH или <HBC=120°-90°=30°). НС=(1/2)*ВС=а/2. Тогда Cosα=(а/2)/(а√2)=1/2√2=√2/4. ответ: Угол равен arccos(√2/4).
Второй вариант: Решим задачу координатным Пусть а=1, а начало координат - в точке А. Найдем координаты точек А,В,С и В1. Из прямоугольного треугольника АВР c <A=30° имеем АР=Yb=√3/2. Из прямоугольного треугольника АКВ c <В=30° имеем АК=Xb=1/2. Треугольник АВС равнобедренный, значит АС=2*АР=√3. Тогда: Точки: А(0;0;0); B(1/2;√3/2;0),C(0;√3;0) и B1(1/2;√3/2;1). Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала, значит Вектора: АВ{1/2;√3/2;0}, B1C{-1/2;-√3/2;-1}. Модули векторов: |AB|=√[(1/2)²+(√3/2)²+0]=1 (что соответствует условию задачи, так как мы приняли а=1). |B1C|=√[(1/2)²+(√3/2)²+1²]=√2. (что также соответствует условию, ведь В1С - диагональ грани ВВ1С1С - квадрата со стороной равной а=1). Угол α между векторами a и b: cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]. В нашем случае: Угол α между вектором АВ и СВ1: cosα=(3/4-1/4+0)/[√(3/4+1/4+0)*√(3/4+1/4+1)]=(1/2)/√2= =1/(2√2)=√2/4. ответ: угол между векторами АВ и СВ1 равен arccos(√2/4). Или ≈69,5°.
Расстояние от центра окружности (основания конуса) ОА до хорды CD = 9см. Расстояние от центра окружности (основания конуса) ОН до плоскости CDS равно 4,5см. Хорда СD перпендикулярна диаметру окружности основания. Отрезок SA перпендикулярен хорде CD. Отрезок ОН перпендикулярен плоскости CDS, то есть ОН перпендикулярен SA. В прямоугольном треугольнике OНА катет ОН равен половине гипотенузы ОА, (так как 4,5 = 9/2), значит угол SAO = 30°. По Пифагору SA² - SO² = OA². Но SA = 2*SO (так как SO лежит против угла 30°), значит 4SO² - SO² = 81, а SO² = 81/3. Отсюда SO = 9/√3 = 3√3cм.
для квадрата R является радиусом вписанной окружности
R=a4/2=4
R для треугольника являеться радиусом описанной окружности
S=3*√3/4*R^2=12√3