В конусе радиусы основания OA=OB= 26, а высота SO= корень из 1476.
M∈AS,SM=MA, N — точка плоскости основания, MN∥SB.
а) Докажи, что ∠ANO=90°.
б) Найди угол между прямой MB и плоскостью основания, если AB= 20.
Решение
а)
Некоторые этапы построения сечения и доказательства (сделай рисунок в тетради, сохранив обозначения точек).
Варианты ответов:
AN, AB, AO, NO, AS, SB, OВ
N∈,∠ANO=90°,так как ... = ...и ... −высота.
1. Начнем с построения сечения конуса. Нарисуем плоскость, параллельную основанию конуса и проходящую через точку N. Обозначим точку пересечения этой плоскости с боковой поверхностью конуса как K.
2. Так как MN∥SB, то у нас есть две параллельные прямые MN и SB, пересекающиеся на прямой AB. По свойству параллельных прямых, углы ∠MNA и ∠ASB равны.
3. Мы знаем, что SM=MA. Из построения сечения, SM=MK+KS и MA=AK. Подставим эти значения в равенство SM=MA: MK+KS=AK. Так как SM=MA, то MK+KS=AK.
4. Также обратим внимание на треугольник KSK. Он прямоугольный, так как KS∥AB (по построению сечения) и KS⊥KS (перпендикулярность прямых, параллельных плоскости основания и пересекающихся с ней).
5. Рассмотрим треугольник KAN. Он содержит прямой угол ∠ANM, так как MN∥AB. Из равенства MK+KS=AK следует, что треугольник AMS также содержит прямой угол ∠ASM.
6. Получается, у нас есть два прямых угла в треугольнике AMS: ∠ANM и ∠ASM. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠AMS+∠ASM+∠ANM=180°. Из этого равенства следует, что ∠ANM+∠ASM+∠ASM=180°.
7. Поскольку ∠ANM является прямым углом и ∠ASM=90° (по построению), то ∠ANO=90°.
б) Чтобы найти угол между прямой MB и плоскостью основания, нам нужно использовать свойства прямых и плоскостей.
1. Из построения секции можно заметить, что прямая MB пересекает плоскость основания в точке B. Также известно, что AB=20.
2. Для нахождения угла между прямой и плоскостью, мы можем рассмотреть проекцию прямой на плоскость. В нашем случае, проекция будет линией, проходящей через точку B и параллельной плоскости основания.
3. Обозначим точку пересечения проекции с плоскостью основания как P. Так как проекция прямой и сама прямая перпендикулярны плоскости основания, то ∠MPB=90°.
4. Рассмотрим треугольник MPB. У нас есть гипотенуза MB (длина неизвестна), основание PB=20 (из изначального условия) и угол ∠MPB=90° (по построению).
5. Определим угол B в треугольнике MPB с помощью тригонометрических функций. Тангенс угла B равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае, противолежащий катет - PB, а прилежащий - MB.
6. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину MB: MB=√(MP^2 + PB^2) = √(1476 + 20^2) = √(1476 + 400) = √1876.
7. Тогда тангенс угла B равен (PB/MB) = 20/√1876.
Таким образом, угол между прямой MB и плоскостью основания можно найти, используя тангенс угла B: тан B = 20/√1876.